Представление отрицательных чисел в двоичной системе счисления

Дополнительный код (англ. two’s complement , иногда twos-complement) — наиболее распространённый способ представления отрицательных целых чисел в компьютерах. Он позволяет заменить операцию вычитания на операцию сложения и сделать операции сложения и вычитания одинаковыми для знаковых и беззнаковых чисел, чем упрощает архитектуру ЭВМ. В англоязычной литературе обратный код называют первым дополнением, а дополнительный код называют вторым дополнением.

Дополнительный код для отрицательного числа можно получить инвертированием его двоичного модуля (первое дополнение) и прибавлением к инверсии единицы (второе дополнение), либо вычитанием числа из нуля.

Таким образом, дополнительный код (второе дополнение) двоичного числа получается добавлением 1 к младшему значащему разряду его первого дополнения. [1]

Второе дополнение (англ. Two’s complement) двоичного числа определяется как величина, полученная вычитанием числа из наибольшей степени двух (из 2 N для N-битного второго дополнения).

Содержание

Представление отрицательного числа в дополнительном коде [ править | править код ]

При записи числа в дополнительном коде старший разряд является знаковым. Если его значение равно 0, то в остальных разрядах записано положительное двоичное число, совпадающее с прямым кодом.

Двоичное 8-разрядное число со знаком в дополнительном коде может представлять любое целое в диапазоне от −128 до +127. Если старший разряд равен нулю, то наибольшее целое число, которое может быть записано в оставшихся 7 разрядах, равно 2 7 − 1 = 127 <displaystyle 2^<7>-1=127> .

Десятичное
представление
Двоичное представление (8 бит)
прямой обратный дополнительный
127 0111 1111 0111 1111 0111 1111
1 0000 0001 0000 0001 0000 0001
0000 0000 0000 0000 0000 0000
-0 1000 0000 1111 1111
-1 1000 0001 1111 1110 1111 1111
-2 1000 0010 1111 1101 1111 1110
-3 1000 0011 1111 1100 1111 1101
-4 1000 0100 1111 1011 1111 1100
-5 1000 0101 1111 1010 1111 1011
-6 1000 0110 1111 1001 1111 1010
-7 1000 0111 1111 1000 1111 1001
-8 1000 1000 1111 0111 1111 1000
-9 1000 1001 1111 0110 1111 0111
-10 1000 1010 1111 0101 1111 0110
-11 1000 1011 1111 0100 1111 0101
-127 1111 1111 1000 0000 1000 0001
-128 1000 0000

Дополнительный код для десятичных чисел [ править | править код ]

Тот же принцип можно использовать и в компьютерном представлении десятичных чисел: для каждого разряда цифра X заменяется на 9−X, и к получившемуся числу добавляется 1. Например, при использовании четырёхзначных чисел −0081 заменяется на 9919 (9919+0081=0000, пятый разряд выбрасывается).

Читайте также:  Приложение на айфон для рингтона на звонок

При применении той же идеи к привычной 10-ичной системе счисления получится (например, для гипотетического процессора, использующего 10-ичную систему счисления):

10-ичная система счисления
("обычная" запись)
10-ичная система счисления,
дополнительный код
. .
13 0013
12 0012
11 0011
10 0010
9 0009
8 0008
. .
2 0002
1 0001
0000
-1 9999
-2 9998
-3 9997
-4 9996
. .
-9 9991
-10 9990
-11 9989
-12 9988
. .

Преобразование в дополнительный код [ править | править код ]

Преобразование числа из прямого кода в дополнительный осуществляется по следующему алгоритму.

  1. Если старший (знаковый) разряд числа, записанного в прямом коде, равен 0, то число положительное и никаких преобразований не делается;
  2. Если старший (знаковый) разряд числа, записанного в прямом коде, равен 1, то число отрицательное, все разряды числа, кроме знакового, инвертируются, а к результату прибавляется 1.

Пример. Преобразуем отрицательное число −5, записанное в прямом коде, в дополнительный код. Прямой код отрицательного числа -5:

Инвертируем все разряды числа, кроме знакового, получая таким образом обратный код (первое дополнение) отрицательного числа -5:

Добавим к результату 1, получая таким образом дополнительный код (второе дополнение) отрицательного числа -5:

Для преобразования отрицательного числа -5, записанного в дополнительном коде, в положительное число 5, записанное в прямом коде, используется похожий алгоритм. А именно:

Инвертируем все разряды отрицательного числа -5, получая таким образом положительное число 4 в прямом коде:

Добавив к результату 1 получим положительное число 5 в прямом коде:

И проверим, сложив с дополнительным кодом

p-адические числа [ править | править код ]

В системе p-адических чисел изменение знака числа осуществляется преобразованием числа в его дополнительный код. Например, если используется 5-ичная система счисления, то число, противоположное 00015 (110), равно 44445 (−110).

Реализация алгоритма преобразования в дополнительный код (для 8-битных чисел) [ править | править код ]

Pascal [ править | править код ]

C/C++ [ править | править код ]

Преимущества и недостатки [ править | править код ]

Преимущества [ править | править код ]

  • Общие инструкции (процессора) для сложения, вычитания и левого сдвига для знаковых и беззнаковых чисел (различия только в арифметических флагах, которые нужно проверять для контроля переполнения в результате).
  • Отсутствие числа «минус ноль».

Недостатки [ править | править код ]

  • Представление отрицательного числа визуально не читается по обычным правилам, для его восприятия нужен особый навык или дополнительные вычисления для приведения в обычный вид.
  • В некоторых представлениях (например, двоично-десятичный код) или их составных частях (например, мантисса числа с плавающей запятой) дополнительное кодирование неудобно
  • Модуль наибольшего числа не равен модулю наименьшего числа. Например, для восьмибитного целого со знаком, максимальное число: 12710 = 011111112, минимальное число: -12810 = 100000002. Соответственно, не для любого числа существует противоположное. Операция изменения знака может потребовать дополнительной проверки.

Пример программного преобразования [ править | править код ]

Если происходит чтение данных из файла или области памяти, где они хранятся в двоичном дополнительном коде (например, файл WAVE), может оказаться необходимым преобразовать байты. Если данные хранятся в 8 битах, необходимо, чтобы значения 128-255 были отрицательными.

Читайте также:  Прохождение игры дом страха месть

C# .NET / C style [ править | править код ]

Расширение знака [ править | править код ]

Расширение знака (англ. Sign extension) — операция над двоичным числом, которая позволяет увеличить разрядность числа с сохранением знака и значения. Выполняется добавлением цифр со стороны старшего значащего разряда. Если число положительное (старший разряд равен 0), то добавляются нули, если отрицательное (старший разряд равен 1) — единицы.

Прямой код

Прямой код – это представление числа в двоичной системе счисления, при котором первый (старший) разряд отводится под знак числа. Если число положительное, то в левый разряд записывается 0; если число отрицательное, то в левый разряд записывается 1.

Таким образом, в двоичной системе счисления, используя прямой код, в восьмиразрядной ячейке (байте) можно записать семиразрядное число. Например:

0 0001101 – положительное число
1 0001101 – отрицательное число

Количество значений, которые можно поместить в семиразрядной ячейке со знаком в дополнительном разряде равно 256. Это совпадает с количеством значений, которые можно поместить в восьмиразрядную ячейку без указания знака. Однако диапазон значений уже другой, ему принадлежат значения от -128 до 127 включительно (при переводе в десятичную систему счисления).

При этом в вычислительной технике прямой код используется почти исключительно для представления положительных чисел.

Для отрицательных чисел используется так называемый дополнительный код. Это связано с удобством выполнения операций над числами электронными устройствами компьютера.

Дополнительный код

В дополнительном коде, также как и прямом, первый разряд отводится для представления знака числа. Прямой код используется для представления положительных чисел, а дополнительный – для представления отрицательных. Поэтому, если в первом разряде находится 1, то мы имеем дело с дополнительным кодом и с отрицательным числом.

Все остальные разряды числа в дополнительном коде сначала инвертируются, т.е. заменяются противоположными (0 на 1, а 1 на 0). Например, если 1 0001100 – это прямой код числа, то при формировании его дополнительного кода, сначала надо заменить нули на единицы, а единицы на нули, кроме первого разряда. Получаем 1 1110011. Но это еще не окончательный вид дополнительного кода числа.

Далее следует прибавить единицу к получившемуся инверсией числу:

1 1110011 + 1 = 1 1110100

В итоге и получается число, которое принято называть дополнительным кодом числа.

Причина, по которой используется дополнительный код числа для представления отрицательных чисел, связана с тем, что так проще выполнять математические операции. Например, у нас два числа, представленных в прямом коде. Одно число положительное, другое – отрицательное и эти числа нужно сложить. Однако просто сложить их нельзя. Сначала компьютер должен определить, что это за числа. Выяснив, что одно число отрицательное, ему следует заменить операцию сложения операцией вычитания. Потом, машина должна определить, какое число больше по модулю, чтобы выяснить знак результата и определиться с тем, что из чего вычитать. В итоге, получается сложный алгоритм. Куда проще складывать числа, если отрицательные преобразованы в дополнительный код. Это можно увидеть на примерах ниже.

Читайте также:  Сколько стоит вай фай в метро

Прямой код

Прямой код – это представление числа в двоичной системе счисления, при котором первый (старший) разряд отводится под знак числа. Если число положительное, то в левый разряд записывается 0; если число отрицательное, то в левый разряд записывается 1.

Таким образом, в двоичной системе счисления, используя прямой код, в восьмиразрядной ячейке (байте) можно записать семиразрядное число. Например:

0 0001101 – положительное число
1 0001101 – отрицательное число

Количество значений, которые можно поместить в семиразрядной ячейке со знаком в дополнительном разряде равно 256. Это совпадает с количеством значений, которые можно поместить в восьмиразрядную ячейку без указания знака. Однако диапазон значений уже другой, ему принадлежат значения от -128 до 127 включительно (при переводе в десятичную систему счисления).

При этом в вычислительной технике прямой код используется почти исключительно для представления положительных чисел.

Для отрицательных чисел используется так называемый дополнительный код. Это связано с удобством выполнения операций над числами электронными устройствами компьютера.

Дополнительный код

В дополнительном коде, также как и прямом, первый разряд отводится для представления знака числа. Прямой код используется для представления положительных чисел, а дополнительный – для представления отрицательных. Поэтому, если в первом разряде находится 1, то мы имеем дело с дополнительным кодом и с отрицательным числом.

Все остальные разряды числа в дополнительном коде сначала инвертируются, т.е. заменяются противоположными (0 на 1, а 1 на 0). Например, если 1 0001100 – это прямой код числа, то при формировании его дополнительного кода, сначала надо заменить нули на единицы, а единицы на нули, кроме первого разряда. Получаем 1 1110011. Но это еще не окончательный вид дополнительного кода числа.

Далее следует прибавить единицу к получившемуся инверсией числу:

1 1110011 + 1 = 1 1110100

В итоге и получается число, которое принято называть дополнительным кодом числа.

Причина, по которой используется дополнительный код числа для представления отрицательных чисел, связана с тем, что так проще выполнять математические операции. Например, у нас два числа, представленных в прямом коде. Одно число положительное, другое – отрицательное и эти числа нужно сложить. Однако просто сложить их нельзя. Сначала компьютер должен определить, что это за числа. Выяснив, что одно число отрицательное, ему следует заменить операцию сложения операцией вычитания. Потом, машина должна определить, какое число больше по модулю, чтобы выяснить знак результата и определиться с тем, что из чего вычитать. В итоге, получается сложный алгоритм. Куда проще складывать числа, если отрицательные преобразованы в дополнительный код. Это можно увидеть на примерах ниже.

Leave a Reply

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

You may use these HTML tags and attributes:

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>