Сечение четырехугольной призмы через 3 точки

На современном этапе развития школьного образования много говорят о необходимости применения информационных технологий на уроках. Не подвергая сомнению большое количество преимуществ такого обучения, хочется сказать об одном из недостатков – отсутствии системы методических разработок. Как нам представляется, в будущем этот недостаток непременно будет устранен большим количеством наработок практикующих учителей. Мы бы хотели внести свой небольшой вклад в развитие этого процесса и поделиться с коллегами своим опытом проведения урока математики с использованием ИКТ. Не секрет, что построение сечений многогранников вызывает у учащихся большие затруднения, связанные с отсутствием или недостаточной развитостью пространственного воображения.
Цель урока: повторить основные методы построения сечения многогранников, определенного тремя точками пространства; формулы для вычисления площадей плоских многоугольников; показать возможности компьютерной программы для построения сечения и оценки его вида.
Оборудование: интерактивная доска, компьютерный класс, учебное электронное издание «Математика, 5–11. Новые возможности для усвоения курса математики», выпущенное в серии «Дрофа. Мультимедийная презентация».

Ход урока
На первом этапе урока осуществляется проверка домашнего задания. Учащимся была предложена задача: построить сечение четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через три точки на ее боковых ребрах.
Сначала обсуждаем, какой вид имеет сечение, построенное учениками дома. Ответы различаются: большинство получили в сечении четырехугольник, но есть и такие работы, в которых сечение имеет вид пятиугольника.
По готовым чертежам обсуждаем, чем отличается построение сечения в каждом из двух случаев и как это связано с расположением точек на боковых ребрах призмы (рис. 1).

Задача. Постройте сечение четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через три точки на боковых ребрах призмы.

На втором этапе классу предлагается сначала для самостоятельного решения следующая задача: на ребре AB куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 взята точка P — середина этого ребра, а на ребре DD 1 — точка Q 1 такая, что DQ 1 : Q 1 D 1 = 1 : 2. Построить сечение куба плоскостью C 1 Q 1 P. Найти его площадь, считая ребро куба равным a.
На интерактивную доску проектируются слайды, на каждом из которых показан лишь один из этапов построения (рис. 2–6).

Каждый этап показанного построения обсуждается с классом по следующим вопросам:
• Какое построение выполнено?
• Какими свойствами обладает построенная точка?
• Каким плоскостям она принадлежит?
Таким образом происходит проверка правильности построения сечения сильными учениками и оказывается помощь тем, кто затруднялся построить сечение самостоятельно. В этой части урока интерактивная доска служит как своеобразный большой экран для демонстрации заготовленной системы слайдов при поддержке компьютера учителя.
В записанном видеоролике учащиеся видят возможность вращения куба в плоскостях xOy, yOz, xOz, что позволяет посмотреть на сечение с разных точек зрения и сначала на интуитивном уровне, а потом на основе теоретических знаний определить его вид как пятиугольника, у которого есть пары равных и пары параллельных сторон. Приведем фрагменты этого видеоролика (рис. 7).

Читайте также:  Помощь в настройке интернета

После этого обсуждаем план вычисления площади сечения на основе разбиения фигуры на непересекающиеся части и применения соответствующего свойства площадей. Вторая часть задачи служит домашним заданием на следующий урок.

На третьем этапе ученики работают за компьютерами. На интерактивную доску и на компьютеры установлена программа «Математика, 7–11». Открываем раздел «Стереометрия», потом «Сечения. Упражнения».
Задача. Точки P, Q, R — середины ребер A 1 B 1 , B 1 C 1 , CD куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Какой многоугольник получится в сечении куба плоскостью PQR? Определить площадь этого многоугольника, если известно, что ребро куба равно a.

Сначала учащиеся по условию задачи сечение строят в тетради. Не все могут успешно завершить это построение. Это связано как с достаточно сложной ситуацией построения, так и с не очень удобным расположением точек в традиционном обозначении куба, принимаемом на уроках. После создания такой проблемной ситуации уместно обратиться к преимуществам данной компьютерной программы и показать, как можно построить сечение с помощью трех щелчков мышью по данным точкам на ребрах. В этой же программе ученики начинают вращать призму, что позволяет, изменяя ракурс, определять визуально вид сечения (рис. 8).

Вычислительная часть работы сопровождается обсуждением того, как найти площадь правильного шестиугольника (рис. 9). Основные этапы решения записываются на интерактивной доске с помощью специальных маркеров. При этом нет необходимости выходить из данной программы, записи осуществляются рядом с полученным чертежом.
На данном этапе интерактивная доска выполняет функции обычной школьной доски и монитора компьютера, аналогичного тому, который стоит перед каждым учеником.
В заключении отметим, что привлечение информационных технологий к урокам математики, несомненно, повышает интерес учеников, стимулирует их активность, позволяет показать взаимодействие разных областей человеческих знаний. С другой стороны, итог урока должен заставить учеников задуматься и о том, что появление сечения не сопровождается показом всех дополнительных построений, не дает возможности понять процесс построения и вычисления, а служит лишь наглядной опорой в рассуждениях, которые зависят от теоретических знаний, умений и навыков каждого ученика.
Только оптимальное сочетание разных форм и средств обучения приводит к тому результату, которого каждый учитель стремится добиться в своей работе.

Читайте также:  Почему не могу создать эпл айди

Литература

1. Литвиненко В. Многогранники. Задачи и решения. — М.: Вита-Пресс, 1995.
2. Погорелов А.В. Геометрия, 10–11. — М.: Просвещение, 2009.

  • Попроси больше объяснений
  • Следить
  • Отметить нарушение

Dnt77 02.12.2018

Что ты хочешь узнать?

Ответ

Проверено экспертом

Рисунок 2. Шаги построения.

1. Соединить точки K и F (на грани A₂A₃A₃¹A₂¹). Отрезок KF

2. Соединить точки K и P (на грани A₂A₁A₁¹A₂¹). Отрезок KP

3. Продлить ребро A₂A₃ и отрезок KF до взаимного пересечения, появилась точка C.

4. Соединить точки C и P – они расположены в плоскости A₁A₂A₃. На пересечении отрезка CP с ребром A₁A₃ появилась точка D. Отрезок DP

5. Соединить точки D и F (на грани A₁A₁¹A₃¹A₃) – отрезок DF

Ответ: четырёхугольник DPKF

Рисунок 4. Шаги построения.

1. Соединить точки K и P (на грани A₄A₁A₁¹A₄¹). Отрезок KP

2. Продлить ребро A₁¹A₄¹ и отрезок KP до взаимного пересечения, появилась точка D.

3. Соединить точки F и D – они расположены в плоскости A₂¹A₃¹A₄¹. На пересечении отрезка FD с ребром A₃¹A₄¹ появилась точка C. Отрезок FC

4. Соединить точки C и P (на грани A₄A₄¹A₃¹A₃). Отрезок CP

5. Верхнее и нижнее основания у призмы параллельны, значит, линии сечения одной плоскостью будут параллельны. Построить отрезок KM, параллельный отрезку FC.

6. Продлить ребро A₁¹A₂¹ и отрезок CF до взаимного пересечения, появилась точка U.

7. Соединить точки M и U – они расположены в плоскости A₁A₁¹A₂¹. На пересечении отрезка MU с ребром A₂A₂¹ появилась точка T. Отрезок MT

8. Соединить точки T и F (на грани A₂A₂¹A₃¹A₃). Отрезок TF

Ответ: шестиугольник PKMTFC

Решебник по геометрии за 11 класс (А.В. Погорелов, 2001 год),
задача №8
к главе «§ 20. Многогранники».

Читайте также:  Программа учета расходных материалов для оргтехники

Пусть K, M и N данные точки.

Возможны три случая:

1) Точки K, M, N расположены так, что MN || DC и KM || MN. Тогда плоскость, проходящая через точки K, M и N параллельна плоскости грани ABCD, т.к. две пересекающие прямые KM и MN параллельны грани ABCD. Проведем прямую ON || AD. Тогда она будет принадлежать плоскости сечения. Так как иначе она пересекала бы и грань ABCD, то есть и AD, что неверно.

Тогда четырехугольник KMNO искомое сечение.

2) Точки K, M, N располагаются так, что КМ || ВС, но MN не параллельно DC. Тогда через точки M и N проведем прямую а, которая пересекает прямую DC в некоторой точке S.

Тогда S принадлежит сечению. Через точку S проведем прямую b || KM. Тогда b принадлежит сечению и b || BC, т.к. b || KM и КМ || ВС. Тогда АВ пересекает прямую b в некоторой точке X. Тогда Х принадлежит сечению.

А также можно соединить точи К и Х отрезком, который пересечет А1А в некоторой точке О. Тогда точка О тоже принадлежит сечению. А значит, четырехугольник OKMN это искомое сечение.

3) Когда точки К, M, N располагаются так, что MN не параллельно DC и KМ не параллельно MN. Тогда прямая MN пересечет прямую DC в некоторой точке F, прямая МК пересечет прямую ВС в некоторой точке X. Точки X и F принадлежат плоскости ABCD, а также искомому сечению, значит, плоскость ABCD и сечение пересекаются по прямой XF. Тогда прямая АВ, или прямая AD, или обе эти прямых пересекают прямую XF. Допустим АВ пересекает XF в точке S. Тогда точка S принадлежит и плоскости АА1В1В, а также сечению. Проведем прямую SK. Она пересечет ребро АА1 в точке О. Так что MNOK искомое сечение.

Leave a Reply

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

You may use these HTML tags and attributes:

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>