Сечение пятиугольной пирамиды плоскостью

Сечение пирамиды плоскостью представляет собой плоскую фигуру и содержит в себе точки принадлежащие как поверхности пирамиды так и секущей плоскости.

Пирамида это многогранник – геометрическое тело боковой поверхностью которого служат плоские грани в виде треугольников. Линии пересечения граней (плоскостей) называются ребрами. В основании пирамиды находится плоский многоугольник число сторон которого соответствует количеству боковых граней. По количеству боковых граней пирамиду называют трех-, четырех-, пяти-, шестигранной и т. д.

Проекциями сечения многогранников плоскостью, в общем случае, являются многоугольники, вершины которых принадлежат ребрам, а стороны граням многогранника.

Найти сечение пирамиды плоскостью означает построение линии пересечения поверхности пирамиды (многогранника) плоскостью и сводится к многократному определению: – либо, линии пересечения двух плоскостей (граней пирамиды и секущей плоскости), которые соединяясь между собой образуют искомую линию сечения; – либо, точки встречи прямой (ребер пирамиды) с секущей плоскостью, которые соединяясь между собой прямыми линиями, образуют искомую линию сечения.

Построить сечение пирамиды плоскостью будет значительно проще если секущая плоскость занимает проецирующее положение. Найти трехгранной пирамиды плоскостью aH – горизонтальной плоскости проекций.

На горизонтальной плоскости проекций находим точки пересечения αH с ребрами пирамиды: 1`, 2`, 3`. На фронтальной плоскости проекций находим точки: 1", 2", 3", на пересечении линий проекционной связи с ребрами пирамиды: [S"A"], [S"B"], [S"C" ] соответственно. Плоская фигура 1 2 3 – треугольник, есть искомое сечение пирамиды плоскостью αH.

Построить сечение пирамиды плоскостью. Даны проекции пятигранной пирамиды SABCDE и секущая плоскость α(αH, αV), заданная следами.

Всп. пл. Заним. полож. Лин. закл. в пл. Линии пересеч плоскостей Точки пересеч. линий
β произвольное SBβ βα = 6-7(6`- 7`, 6"- 7") 6-7SB = 2(2`, 2")
γ1 γ1Hγ1V SAγ1 γ1α = f(f`, f") fSA = 1(1`, 1")
γ2 γ2V SCγ2 γ2α = 8-9(8`- 9`, 8"- 9") 8-9SC = 3(3`, 3")
γ3 γ2V SDγ3 γ3α = 10-11(10`- 11`, 10"- 11") 10-11SD = 4(4`, 4")
γ4 γ4V SEγ4 γ4α = 12-13(12`- 13`, 12"- 13") 12-13SE = 5(5`, 5")
Читайте также:  Программа для просмотра pages

Даны проекции пятигранной пирамида SABCDE и секущая плоскость α заданная проекциями трех точек 1(. 1"), 3(3`, . ) и 5(. 5"), принадлежащих ребрам SA, SC и SE соответственно. Достроить линию сечения пирамиды плоскостью α.

если известны проекции точек лежащих на ребрах пирамиды: 1(. 1"), 3(3`, . ) 5(. 5"). Составляем план решения задачи: – строим недостающие проекции для заданных точек; – соединяем точки сечения пирамиды прямыми линиями и построив следы этих прямых линий переходим к заданию секущей плоскости α следами αH и αV. Дальнейший ход решения задачи на сечение пирамиды плоскостью изложен в предыдущем примере.

Даны проекции пятигранной пирамида SABCDE и секущая плоскость α заданная проекциями трех точек 7(7`, 7"), 8(8`, 8"), 9(9`, 9") и 10(10`, 10"), являющихся вершинами ромба. Построить линию сечения пирамиды SABCDE плоскостью α и его натуральную величину, используя способ перемены плоскостей проекций .

Составляем план решения задачи: Преобразуем секущую плоскость α в фронтально проецирующую: – строится в секущей плоскости горизонталь h; – производится Перемена плоскости проекции V на V1; – строятся проекции секущей плоскости α"1 и пирамиды S"1A"1B"1C"1D"1E"1; – отмечаются точки пересечения ребер пирамиды с α"1: 1"1, 2"1, 3"1, 4"1 и 5"1; Преобразуем секущую плоскость α(α`, α"1) в фронтально проецирующую плоскость уровня α"1: – производится Перемена плоскости проекции H на H1 при этом x2 ‖ α"1; – строятся точки сечения 1`, 2`, 3`, 4` и 5`, найденные точки соединяем прямыми линиями и получаем искомую натуральную величину сечения пирамиды

Сечение пирамиды плоскостью, построенное здесь применено в статьях: – развертка поверхности усеченной пирамиды: Развертка поверхности усеченной пирамиды; – построение аксонометрических проекций усеченной пирамиды: Прямоугольная изометрия усеченной пирамиды; – графическая работа 12: Графическая работа 12.

Читайте также:  Программа для открытия документов xml

Правильная шестиугольная пирамида, пересеченная фронтально- проецирующей плоскостью а", показана на рисунке 2.94.

Как и в предыдущих примерах, фронтальная проекция сечения совпадает с фронтальным следом f"t плоскости. Горизонтальную и профильную проекции фигуры сечения строят по точкам, которые являются точками пересечения плоскости а" с ребрами пирамиды. Действительный

вид фигуры сечения в этом примере найдем способом перемены плоскостей проекций.

Развертка боковой поверхности усеченной пирамиды с фигурой сечения и фигурой основания приведена на рисунке 2.95.

Сначала строят развертку неусеченной пирамиды, все грани которой, имеющие форму треугольника, одинаковы. На плоскости намечают точку S (вершину пирамиды) и из нее, как из центра, проводят дугу окружности радиусом R, равным действительной длине бокового ребра пирамиды. Действительную длину ребра можно определить по профильной проекции пирамиды, например отрезки S’"E"’ или S’"В"’, так как эти ребра параллельны профильной плоскости и изображаются на ней действительной длиной. Далее по дуге окружности от любой точки, например А, откладывают шесть одинаковых отрезков, равных действительной длине стороны шестиугольника — основания пирамиды. Действительную длину стороны основания пирамиды получаем на горизонтальной проекции (отрезок А ‘В’). Точки А —Е соединяют прямыми с вершиной S. Затем от вершины 5), на этих прямых откладывают действительные длины отрезков ребер до секущей плоскости.

На профильной проекции усеченной пирамиды имеются действительные длины только двух отрезков — S’"5’" и S"2"’. Действительные длины остальных отрезков определяют способом вращения их вокруг оси, перпендикулярной к горизонтальной плоскости и проходящей через вершину S.

Полученные точки 1, 2, 3 и т.д. соединяют прямыми и пристраивают фигуры основания и сечения, пользуясь методом триангуляции. Линии сгиба на развертке проводят штрих-пунктирной линией с двумя точками.

Построение изометрической проекции усеченной пирамиды начинают с построения изометрической проекции основания пирамиды по размерам, взятым с горизонтальной проекции комплексного чертежа. Затем на плоскости основания по координатам точек V—6 строят горизонтальную проекцию сечения (тонкие линии на основании пирамиды, рисунок 2.96). Из вершины полученного шестиугольника проводят вертикальные прямые, на которых откладывают координаты, взятые с фронтальной или профильной проекции призмы, например, отрезки Kh К2, К3и т.д.

Читайте также:  Программист стоимость часа работы

Полученные точки 1—6 соединяем, получаем фигуру сечения. Соединив точки 1—6 с вершинами шестиугольника, основания пирамиды, получим изометрическую проекцию усеченной пирамиды. Невидимые ребра изображают штриховыми линиями.

Правильная пирамида, в основании которой лежит правильный пятиугольник, усеченная плоскостью, показана на рис. 1.

Рис. 1. Развертка правильного пятиугольника усеченного плоскостью.

Как построить сечение пятиугольной пирамиды?!

Через точки 3′, 3″ и 0′, 0″ проводятся прямые до пересечения в точке V’, являющейся вершиной пирамиды. Откладывается расстояние М’0′ = М0. Точки 0’ и V’ соединяются. Через точки пересечения ребер с плоскостью 0″, 1″, …, 5″ проводятся горизонтальные прямые до пересечения с прямой 0’V’ в точках 0″, 1″, …, 5″. Расстояние 0’V’ = L определяет действительную длину ребра пирамиды.

Развертка строится следующим образом. Выбирается произвольный центр V.

Из него радиусом, равным длине бокового ребра пирамиды R = L, описывается дуга. От произвольной точки 0 на дуге как хорда пять раз последовательно откладывается сторона основания а. Полученные точки 0, 1, …, 5 соединяются последовательно между собой и с вершиной V. Из вершины откладываются расстояния V0″ = V’0″, V1″ = V’1″ и т. д. Полученные точки соединяются.

Для построения верхнего основания проводятся перпендикуляры к отрезку 0″3″ из точек 0″, 1″, 4″, 2″, 3″. После выбора произвольной точки 01 на перпендикуляре из точки 0″ из центра 01 радиусом 0″1″ развертки описывается, дуга до пересечения с перпендикуляром в точке 11. Из центра 11 радиусом 1″2″ описывается дуга до пересечения, перпендикуляра, проходящего через точку 2″, в точке 21. Построение продолжается при сохранении выбранного направления до замыкания многоугольника. Полученный многоугольник 011141 присоединяется к какому-либо из ребер развертки или выполняется отдельно.

Leave a Reply

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

You may use these HTML tags and attributes:

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>