Сила натяжения нити в коническом маятнике

2014-05-31
Шарик массой m, подвешенный на невесомой нерастяжимой нити вращается по окружности вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью $omega$ (эта система носит название "конический маятник, рис. а). Где нить конического маятника должна быть прочнее – на Земле или на Луне?

Обозначим через R радиус $AO^<prime>$ окружности, по которой вращается шарик, и через l – длину нити АО. Центростремительная сила
$F=m omega^ <2>R$, (1)
вызывающая вращение, направлена по горизонтали к центру наружности и является равнодействующей силы натяжения нити Т и силы тяжести mg. Из очевидного подобия треугольника сил и треугольника $AOO^<prime>$ (рис. 6) следует равенство:
$R/l = F/T$. (2)
Решая пропорцию (2) относительно Т с учетом (1), находим
$T = m omega^ <2>l$. (3)
Видно, что натяжение нити Т не зависит от ускорения свободного падения g, которое на Земле и на Луне разное.

Таким образом, нить конического маятника на Земле и на Луне должна выдерживать одинаковое натяжение Т и, следовательно, должна иметь одинаковую прочность.

Какой угол с вертикалью образует нить конического маятника (тело, подвешенное на нити, которая при движении маятника описывает коническую поверхность), длиной 1,2 м, если его период обращения 2,0 с?

Дано: l=1,2 м, Т = 2,0 с.

Решение. На маятник действуют силатяжести mg и сила натяжения нити Fн. Ускорение маятника направлено по радиусу к центру окружности.

Запишем основное уравнение динамики:

Спроецируем на оси Ох и Оу:

Разделим одно уравнение на другое:

C другой стороны,

где г — радиус окружности, которую описывает маятник в горизонтальной плоскости. Из рисунка видно, что

Подставив это значение ускорения, получим:

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Сдача сессии и защита диплома – страшная бессонница, которая потом кажется страшным сном. 8914 – | 7222 – или читать все.

Читайте также:  Самсунг меняет старые телефоны на новые

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Пусть нам надо решить достаточно сложную задачу по динамике. И, хотя вряд ли можно указать конкретный путь к ответу в виде определённой последовательности шагов, в любом случае имеет смысл классифицировать такие задачи. Опыт показывает, что наиболее удачна классификация на основе характера ускорения тела. Другие классификации, например, по форме траектории, по физическим законам, по фигурирующим в задаче телам (блоки, наклонная плоскость и т.д.) менее эффективны.

Выбранная нами классификация представлена в таблице. Она, конечно, не всеобъемлющая, ведь мир физических задач весьма разнообразен, а исключения немногочисленны. Однако даже трудную задачу после отнесения к определённому типу проще решить.

Начнём с задач первого типа, для решения которых достаточно применения законов Ньютона. Отметим лишь, что совершенно не возбраняется применить вместо них закон сохранения энергии, упрощающий решение и делающий его физически красивым. Но изредка бывает, что закон сохранения энергии вырождается в тождество. Тогда его применить невозможно. Так, кстати, и случилось бы в следующей задаче.

Задача 1 (МФТИ, 1988). Космонавты, высадившись на поверхности Марса, измерили период вращения конического маятника, и он оказался равным T = 3 с. Длина нити l = 1 м. Угол, составленный нитью с вертикалью, = 30°. Найдите ускорение свободного падения на Марсе.

По второму закону Ньютона, ma = mg + N, где N – сила натяжения нити. В проекциях на оси X и Y векторное уравнение преобразуется в систему скалярных:

откуда a = gtg. Так как ускорение маятника где – радиус траектории вращения маятника, то из уравнения легко находим марсианское ускорение:

g = 3,8 м/с 2 .

Читайте также:  Приложение для создания рекламных постов

Задача 2 (физфак МГУ им. М.В.Ломоносова, 1996). По наклонной плоскости, образующей угол с горизонтом, втягивают за верёвку ящик массой M. Коэффициент трения ящика о плоскость . Под каким углом к плоскости следует тянуть верёвку, чтобы двигать ящик равномерно с минимальным усилием?

Векторное уравнение второго закона Ньютона:

Mg + F + N + Fтр = 0,

где Fтр – сила трения скольжения (|Fтр| = |N|), N – нормальная составляющая силы реакции плоскости. Проецируем это уравнение на оси координат X и Y:

Последняя система уравнений легко приводится к виду:

откуда сразу следует:

Очевидно, что минимальное значение силы F будет при максимальном значении знаменателя (числитель дроби постоянен), т.е. при

Отсюда

Переходим к задачам второго типа. Для их решения составляем динамико-энергетическую систему уравнений. Одно уравнение – по второму закону Ньютона, второе – по закону сохранения энергии. Уравнение второго закона Ньютона записываем в проекциях только на нормаль к траектории движения материальной точки. А вместо аналогичного проецирования на касательную, связанного с излишним применением высшей математики, применяем закон сохранения энергии. Это математически рационально.

Задача 3 (физфак МГУ им. М.В.Ломоносова, 1971). Малый тяжёлый шарик на нити вращается в вертикальной плоскости. Покажите, что шарик не сможет вращаться, если нить не в состоянии выдержать натяжение T, превышающее силу тяжести, действующую на шарик, в 6 раз.

Рассмотрим два положения шарика – в самом низу и в самом верху. Составим для них уравнения по второму закону Ньютона:

ma1 = mg + T1; ma2 = mg + T2,

где T1 и T2 – соответствующие силы натяжения нити. Спроецируем эти уравнения на вертикальную ось Y:

По закону сохранения энергии:

Окончательно получаем систему уравнений:

Теперь сложим первые два уравнения и сравним получившееся уравнение с третьим:

Сразу видим, что

Поскольку что и требовалось доказать.

Заметим, что при неравномерном движении по окружности вектор ускорения тела a не направлен к её центру. Но проекция вектора a на радиус окружности равна как и при равномерном движении. Однако строгое доказательство этого факта выходит за рамки школьной программы.

Читайте также:  Сколько метров полоса разгона

Задача 4 (физфак МГУ им. М.В.Ломоносова, 1979).

Небольшое тело соскальзывает по наклонной поверхности с высоты H = 1,2 м. Наклонная поверхность переходит в петлю. Найдите величину работы силы трения, если известно, что сила давления тела на петлю в верхней точке равна нулю, масса тела m = 10 г, радиус петли R = 0,4 м.

Решение. Работа A силы трения на пути AB отрицательна и равна изменению механической энергии тела: В точке B тело движется только под действием силы тяжести, как это следует из условия задачи. Поэтому откуда 2 = Rg. Следовательно:

Окончание в № 12/07

Leave a Reply

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

You may use these HTML tags and attributes:

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>