Симушкин пушкин теория вероятности

В данном разделе размещены задачи с решениями по теории вероятностей из разных разделов, которые изучаются студентами и даже школьниками. Помимо подробных решений типовых задач на сайте есть онлайн-учебник, онлайн-калькуляторы по теории вероятностей, формулы, списки учебников и многое другое (см. ссылки ниже).

Если у вас есть трудности с решением заданий по терверу, обращайтесь, мы готовы помочь. Стоимость консультации от 70 рублей, срок от 1 дня, оформление в Word. Подробнее тут: Теория вероятностей для студентов.

Задачи по теории вероятностей, Симушкин С.В., Пушкин Л.Н., 2011.

Пособие содержит почти 500 задач по основным разделам теории вероятностей. Методы решения задач проиллюстрированы большим количеством примеров, способствующих самостоятельному освоению материала. Предназначено для физико-математических специальностей университетов.

Пространство элементарных исходов.

w, — непустое множество, элементы которого, называемые элементарными исходами, интерпретируются как неразложимые, исключающие друг друга исходы w случайного эксперимента.
Если эксперимент закончился элементарным исходом w, который принадлежит некоторому подмножеству А С Q. то говорят, что произошло событие А. В дальнейшем мы будем называть событиями только подмножества алгебры £. В этой терминологии Непересекающиеся события называются несовместными, поскольку не могут произойти вместе в одном эксперименте. Для таких событий принято заменять знак объединения в формулах на знак суммирования.

Содержание.

Тема I. Основания теории вероятностей.
Тема II. Классическая схема.
Тема III Равномерное распределение в области.
Тема IV. Условная вероятность. Независимость событий.
Тема V. Схема Бернулли. Биномиальное распределение.
Тема VI. Распределения случайных величин.
Тема VII. Числовые характеристики случайных величин.
Тема VIII. Метод характеристических функций.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Задачи по теории вероятностей, Симушкин С.В., Пушкин Л.Н., 2011 – fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.

Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.

Добро пожаловать!

доктор физ.-мат. наук, профессор Д.Х. Муштари;

кандидат физ.-мат. наук, доцент М.Х. Бренерман С и м у ш к и н С. В.

C37 Задачи по теории вероятностей: учеб. пособие./ С.В. Симушкин, Л.Н. Пушкин. Казань: Казан.ун-т, 2011. 223 с.

Пособие содержит почти 500 задач по основным разделам теории вероятностей. Методы решения задач проиллюстрированы большим количеством примеров, способствующих самостоятельному освоению материала.

Предназначено для физико-математических специальностей университетов.

© Казанский университет, 2011 © Пушкин Л.Н., 2011 © Симушкин С.В., 2011 Список тем Предисловие 5 Обозначения и сокращения 6 I Основания теории вероятностей 7 Задачи. 19 Ответы и указания. 26 II Классическая схема 29 Задачи. 45 Ответы и указания. 53 III Равномерное распределение в области 57 Задачи. 62 Ответы и указания. 66 IV Условная вероятность. Независимость событий 67 Формула полной вероятности. Формула Байеса 72 Задачи. 76 Ответы и указания. 91 V Схема Бернулли. Биномиальное распределение 97 Предельные теоремы Пуассона и Муавра–Лапласа 107 Задачи. 114 Ответы и указания. 130 VI Распределения случайных величин Многомерные случайные величины Задачи. Ответы и указания. VII Числовые характеристики случайных величин Задачи. Ответы и указания. VIII Метод характеристических функций Задачи. Ответы и указания. Вспомогательный материал Алфавиты Литературные источники Таблицы Предисловие Предисловие В настоящем сборнике собраны задачи по основным разделам теории вероятностей. Сборник разбит на восемь тем в соответствии с изучаемой вероятностной моделью (основания теории, классическая схема, геометрические вероятности, схема Бернулли) или применяемым математическим аппаратом (условные вероятности, независимость событий, случайные величины и их распределения, математическое ожидание, характеристические функции). Каждая тема содержит подробный теоретический материал, а также большое количество примеров решения задач. Часть задач для самостоятельного решения помещена в теоретический блок каждой темы, чтобы подчеркнуть их важность для понимания изучаемого материала. Естественно, их нужно рассматривать почти как обязательные для решения задачи. Номера действительно обязательных задач подчеркнуты. Решение сложных задач (со звездочкой и галочкой) будут способствовать не только более глубокому пониманию существа методов теории вероятностей, но и повышению рейтинговой оценки студента.

Символы греческого алфавита, а также готический шрифт написания латинских символов приведены в конце задачника.

Для более детального ознакомления с теоретическим материалом рекомендуем обратиться к следующим учебным пособиям;

ссылки на эти пособия приведены в начале каждой темы.

[1 ] В о л о д и н И. Н. Лекции по теории вероятностей и математической статистике / И.Н. Володин. Казань: КГУ, 2006. 272 с.

[2 ] Ш и р я е в А. Н. Вероятность / А.Н. Ширяев. М.: Наука, 1980. 576 с.

(t) характеристическая функция с.в.

Cn, An комбинаторные коэффициенты K K число перестановок 2n!! = 2n(2n – 2) · · · попарно связанных элементов IA или I(A) индикаторная функция события A D распределение с.в. описывается законом D n D распределение n слабо сходится к D заменяет классическое обозначение at bt, t tэквивалентности в анализе: limt at/bt = 1.

окончание решения def равно по определению := = с.в. случайная величина м.о. математическое ожидание (среднее значение) тогда и только тогда, когда ттогда ф.р. (пл.в.) функция распределения (плотность вероятностей) х.ф. характеристическая функция Z замечание Основания теории Т е м а I.

вероятностей [1, с. 21–28; 2, с. 144–161] Описание любого случайного явления начинается с построения соответствующего этому явлению вероятностного пространства.

Вероятностным пространствомназывается тройка (, F, P) :

– пространство элементарных исходов;

некоторая алгебра (-алгебра) подмножеств F, F – называемых событиями;

P – вероятность, задаваемая на алгебре F.

Пространство элементарных исходов непустое множество, элементы которого, называемые элементарными исходами, интерпретируются как неразложимые, исключающие друг друга исходы случайного эксперимента.

Если эксперимент закончился элементарным исходом, который принадлежит некоторому подмножеству A, то говорят, что произошло событие A. В дальнейшем мы будем называть событиями только подмножества алгебры F. В этой терминологии происходит, когда происходит хотя бы одно объединение Ak – (по крайней мере одно, какое-либо) из событий k k; синоним слова ИЛИ происходит, когда происходит каждое из собыпересечение Ak – k тий k; синоним слова И дополнение происходит, когда не происходит событие A;

Ac – (отрицание) синоним слова НЕ 8 Т е м а I. Основания теории вероятностей происходит только тогда, когда происходит соразность A B – бытие A и не происходит событие B происходит только тогда, когда происходит сосимметрическая A B – бытие A или происходит событие B, но не проразность исходят одновременно A и B означает, что событие A влечет событие B;

включение A B – если произошло A, то произошло и B Непересекающиеся события называются несовместными, поскольку не могут произойти вместе в одном эксперименте. Для таких событий принято заменять знак объединения в формулах на знак суммирования. Записи F1 + F2, Fk k следует понимать как объединения попарно несовместных событий семейства : Fk Fj =, k = j.

Знак пересечения часто опускается: A B = AB.

Пример 1. Докажем, что объединение любых двух событий может быть представлено в виде суммы несовместных событий A1 A2 = A1 + (A2 A1) = (A1 A2) + (A2 A1) + A1 A2.

Решение. Несовместность заявленных событий очевидна.

Справедливость равенств (для приA2 Aмера только последнего) установим методом,,туда и обратно‘‘. То есть, взяв A1·Aисход, принадлежащий левой части A1 Aравенства, покажем, что он будет принадлежать и правой части и наоборот.

Соотношение A1 A2 эквивалентно выполнению одного из трех утверждений: A1 и одновременно A2, или A2 и A1, или A1 и A2, то есть когда (A1 A2)+ (A2 A1) + A1 A2.

Теория и примеры Доказательство становится нагляднее, если записать его в виде логических переходов, заменив при этом союз ИЛИ (аналог объединения) квадратной скобкой [, а союз И (пересечение) – фигурной скобкой < :

A1 и A2, A1 A2, A1 A2 A1 и A2, A2 A1, A1 и A2, A1 A2, (A1 A2) + (A2 A1) + A1 A2.

Полезно представить исследуемое соотношение в виде рисунка с областями на плоскости. Рисунок помогает догадаться о путях доказательства соотношения, но не может рассматриваться как окончательное доказательство. В то же время, при построении контрпримера рисунок бывает незаменимым решением задачи.

Пример 2. Верно ли, что (A B) + B = A Решение. Из представленного здесь A рисунка (множество A овал, множество B прямоугольник) видно, что B B + (A B) скорее совпадает с объединением A B (докажите строго этот факт), но никак не с A.

Пример 3. Докажем, что (-; x0 + ) = (-; x0].

n n=Решение. С одной стороны (справа налево), (-; x0] -; x0 +, n n=1/n так как (-; x0] (-; x0 + ) для n 1.

С другой стороны (слева направо), если точка x (-; x0 + ), n n=10 Т е м а I. Основания теории вероятностей то она не может быть строго больше x0, так как в противном случае нашелся бы такой номер n, для которого имело бы место 1/n неравенство x0+

12 Т е м а I. Основания теории вероятностей Решение. Искомое событие произойдет, если произойдет какоелибо ( k ) событие Ak и ( ) не произойдут все остальные события, то есть произойдут все ( j=k ) дополнения событий Aj, j = k :

Ak Ac = Ak Ac, j j k j=k k j=k где последнее равенство следует из того, что все события, стоящие под знаком объединения, несовместны (докажите!).

Пример 7. Статистический контроль качества электроламп осуществляется в два этапа. Сначала из партии ламп отбираются три лампы, и вся партия отправляется для дальнейшего использования (партия принимается), если все эти лампы хорошие. Если среди контрольных ламп имеется ровно одна плохая, то производится отбор еще двух ламп и партия принимается, только если обе эти лампы хорошие. Во всех остальных случаях партия бракуется.

Требуется записать в виде подмножеств некоторого пространства исходов событие, состоящее в том, что партия будет принята.

Решение. Поскольку от производимого нами вероятностного анализа лампы не испортятся, будем считать, что на контрольный стенд поступают сразу 5 ламп. Партия принимается, если первые три из них хорошие (две последние могут быть любыми) либо среди первых трех имеется ровно одна плохая и при этом среди двух последних вообще нет плохих. Обозначим через Ki событие, состоящее в том, что i -ая контрольная лампа кондиционна. Тогда партия будет принята, если произойдет событие c c c K1K2K3 + K1K2K3K4K5 + K1K2K3K4K5 + K1K2K3K4K5.

Булева алгебра событий Алгебра ( –алгебрa) F представляет собой набор тех подмножеств, вероятность которых может быть вычислена (измереТеория и примеры на). Поэтому эти подмножества часто называются измеримыми. В дальнейшем измеримые подмножества мы будем называть просто событиями. Все пространство называется достоверным событием, а пустое подмножество невозможным.

Набор F подмножеств образует –алгебру событий, если (S1) F, F ;

k=k=Если условие (S3) выполняется только для конечных систем множеств M, M Pages: |

Leave a Reply

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

You may use these HTML tags and attributes:

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>