Знание — сила. Познавательная информация
Синус меньше a
Рассмотрим решение тригонометрических неравенств вида синус меньше a (sinx
Синус — это ордината точки. Соответственно, sinx=a в точках пересечения единичной окружности и прямой y=a. Часть окружности, расположенная выше прямой y=a, соответствует значениям синуса, большим a. Поскольку мы решаем неравенство sinx
Основная задача здесь — правильно определить точки пересечения прямой и окружности. Первая точка находится легко — это arcsina. Для определения второй точки рассуждаем так: так как sin
Мы нашли только один интервал, на котором sinx
Если неравенство нестрогое, точки пересечения окружности и прямой закрашиваем, а затем включаем в решение (круглую скобку заменяем на квадратную).
2) sinx
В этом случае никакие точки не исключаются, а значит, x — любое число:(-∞;+∞).
В этом случае единственной точкой на окружности, удовлетворяющей данному условию, является точка -п/2. С учетом периодичности синуса решение данного неравенства — множество точек вида x=-п/2+2пn, где n — целое число.
Окружность в этом случае целиком лежит ниже прямой y=a, а значит, решением данного неравенства является любое значение x: (-∞;+∞).
8) sinx 1
Окружность целиком лежит выше прямой y=a, а значит, нет ни одного x, удовлетворяющего условию неравенства. Значит, решений нет.
И в заключении, рассмотрим пример.
Решить неравенство sinx Светлана Иванова, 04 Окт 2012
Чтобы добавить хороший ответ необходимо:
- Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
- Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
- Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.
Этого делать не стоит:
- Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
- Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
- Использовать мат – это неуважительно по отношению к пользователям;
- Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.
Есть сомнения?
Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Алгебра.
Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи – смело задавайте вопросы!
Алгебра — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики.
Разделы: Математика
- повторить определения обратных тригонометрических функций,
- повторить решение простейших тригонометрических уравнений,
- научить решать простейшие тригонометрические неравенства.
Оборудование: проектор, компьютер, раздаточный материал.
Повторение. Обратные тригонометрические функции.
- Для какой функции существует функция обратная? Приведите пример функции, для которой существует обратная функция на всей области определения, не существует обратной функции на всей области определения.
- Какая существует зависимость между областью определения и областью значений прямой и обратной функций?
- Как располагаются в прямоугольной системе координат графики прямой и обратной функций?
- Можно ли говорить о том, что тригонометрические функции на всей области определения имеют обратные функции? Обоснуйте свой ответ.
Далее даются определения обратных тригонометрических функций.
Определение 1. Арксинусом числа а называется такое число на отрезке , синус которого равен а.
Определение 2. Арккосинусом числа а называется такое число на отрезке [0; π ], косинус которого равен а.
Определение 3.Арктангенсом числа а называется такое число на интервале , тангенс которого равен а.
Определение 4. Арккотангенсом числа а называется такое число из интервала (0; π) , котангенс которого равен а.
Полезно задать учащимся несколько вопросов, которые помогут определить неформальное понимание определений.
1) Что означает запись y = аrcсоsх? Предполагаемый правильный ответ: по определению обратной тригонометрической функции это означает, что и сosy = x
2) Правильно ли утверждение: “Арккосинус нуля равен 2πn ?”.
3) Найдите .
Решение. Пусть . Тогда
и
. Применим основное тригонометрическое тождество sin 2 y + cos 2 y = 1. Найдем
Учащиеся должны увидеть, что на отрезке [0; π] sin y ≥ 0 и правильным ответом будет .
4) у = arctgx. Если x ≥ 0 , то, какому промежутку принадлежит у? А если х – уравнение решений не имеет.
Изучение нового материала.
Решение простейших тригонометрических неравенств sin x 0
sin x ≤ 0, sin x ≥ 0
Учащимся предлагается воспользоваться карточкой № 1 (формат А-4) со следующим содержанием.
Алгоритм решения тригонометрических неравенств.
- На оси ординат единичной окружности отмечаем точку, соответствующую значению а (примерно).
- Через полученную точку проводим прямую параллельно другой оси системы координат до пересечения с окружностью (Точки пересечения можно соединить с центром окружности).
- На единичной окружности в точках пересечения записываем числа, соответствующие этим точкам.
- Мысленно перемещаем нашу прямую параллельно оси координат в зависимости от значения а.
- Выделяем штриховкой ту часть дуги единичной окружности, которую перемещающая прямая ее пересекает. Если неравенство строгое, то точки на концах дуги не заштриховываются (выколотые точки).
- Записываем ответ.
Решение неравенства sinx>
Далее по алгоритму учитель на доске, а учащиеся на карточке проводят последовательные операции на единичных окружностях (рис. 3, а, б, в), рассматривая решение неравенства sin x >
Рис. 3
Записывается ответ:
Уравнение cosx = a.
Учащимся предлагается работа по карточке № 2.
(На карточке – пять единичных окружностей.)
Учащиеся самостоятельно выполняют чертеж иллюстрирующий решение уравнения cosх = а для случая 0
Решение неравенства проводится одним из учащихся на доске. Учащиеся на карточке при максимальной самостоятельности, используя рисунок, записывают решение данного неравенства (Рис. 6, а). При необходимости учитель оказывает помощь учащемуся у доски и учащимся класса. Закрепляется алгоритм решения неравенства.
Рис. 6
Ответ:
После решения этого неравенства учащимся предлагается самостоятельно решить неравенство (Рис. 6, б)
Ответ:
При проверке решений используется изображение на экране.
Уравнения tgx = a, ctgx = a
На экране высвечивается рисунок 7, а, б, по которому разбирается решение уравнений.
Здесь нужно заострить внимание учащихся на наличие двух дуг, симметричных относительно начала координат и в связи с этим на соответствующую запись ответа.
Рис. 7
Учитель у доски объясняет решение данных неравенств. Решение неравенств учащиеся оформляют в тетрадях. Целесообразно рассмотреть решение нестрогих неравенств, чтобы напомнить об области определения тангенса и котангенса, так как строгие неравенства не подчеркивают того, что тангенс и котангенс определены не для любого значения аргумента.
По результатам объяснения учителя учащиеся получают рисунок 8(а, б) с записью ответа.
Рис. 8
Рис. 9
Ответ:
Итог урока. Повторить алгоритм решения тригонометрических неравенств на каком либо примере учебника п.10 (А.Н.Колмогоров и др. Алгебра и начала математического анализа. 10 – Ф45 11-е классы: учебник для общеобразовательных учреждений с приложением на электронном носителе; под редакцией А.Н.Колмогорова. М.: Просвещение, 2009).
Домашнее задание: п.10, материал карточек.