Знание — сила. Познавательная информация

Синус меньше a

Рассмотрим решение тригонометрических неравенств вида синус меньше a (sinx

Синус — это ордината точки. Соответственно, sinx=a в точках пересечения единичной окружности и прямой y=a. Часть окружности, расположенная выше прямой y=a, соответствует значениям синуса, большим a. Поскольку мы решаем неравенство sinx

Основная задача здесь — правильно определить точки пересечения прямой и окружности. Первая точка находится легко — это arcsina. Для определения второй точки рассуждаем так: так как sin

Мы нашли только один интервал, на котором sinx

Если неравенство нестрогое, точки пересечения окружности и прямой закрашиваем, а затем включаем в решение (круглую скобку заменяем на квадратную).

2) sinx

В этом случае никакие точки не исключаются, а значит, x — любое число:(-∞;+∞).

В этом случае единственной точкой на окружности, удовлетворяющей данному условию, является точка -п/2. С учетом периодичности синуса решение данного неравенства — множество точек вида x=-п/2+2пn, где n — целое число.

Окружность в этом случае целиком лежит ниже прямой y=a, а значит, решением данного неравенства является любое значение x: (-∞;+∞).

8) sinx 1

Окружность целиком лежит выше прямой y=a, а значит, нет ни одного x, удовлетворяющего условию неравенства. Значит, решений нет.

И в заключении, рассмотрим пример.

Решить неравенство sinx Светлана Иванова, 04 Окт 2012

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

• Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
• Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
• Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

• Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
• Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
• Использовать мат – это неуважительно по отношению к пользователям;
• Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.

Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Алгебра.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи – смело задавайте вопросы!

Алгебра — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики.

Разделы: Математика

• повторить определения обратных тригонометрических функций,
• повторить решение простейших тригонометрических уравнений,
• научить решать простейшие тригонометрические неравенства.

Оборудование: проектор, компьютер, раздаточный материал.

Повторение. Обратные тригонометрические функции.

1. Для какой функции существует функция обратная? Приведите пример функции, для которой существует обратная функция на всей области определения, не существует обратной функции на всей области определения.
2. Какая существует зависимость между областью определения и областью значений прямой и обратной функций?
3. Как располагаются в прямоугольной системе координат графики прямой и обратной функций?
4. Можно ли говорить о том, что тригонометрические функции на всей области определения имеют обратные функции? Обоснуйте свой ответ.

Далее даются определения обратных тригонометрических функций.

Определение 1. Арксинусом числа а называется такое число на отрезке , синус которого равен а.

Определение 2. Арккосинусом числа а называется такое число на отрезке [0; π ], косинус которого равен а.

Определение 3.Арктангенсом числа а называется такое число на интервале , тангенс которого равен а.

Определение 4. Арккотангенсом числа а называется такое число из интервала (0; π) , котангенс которого равен а.

Полезно задать учащимся несколько вопросов, которые помогут определить неформальное понимание определений.

1) Что означает запись y = аrcсоsх? Предполагаемый правильный ответ: по определению обратной тригонометрической функции это означает, что и сosy = x

2) Правильно ли утверждение: “Арккосинус нуля равен 2πn ?”.

3) Найдите .

Решение. Пусть . Тогда и . Применим основное тригонометрическое тождество sin 2 y + cos 2 y = 1. Найдем

Учащиеся должны увидеть, что на отрезке [0; π] sin y ≥ 0 и правильным ответом будет .

4) у = arctgx. Если x ≥ 0 , то, какому промежутку принадлежит у? А если х – уравнение решений не имеет.

Изучение нового материала.

Решение простейших тригонометрических неравенств sin x 0

sin x ≤ 0, sin x ≥ 0

Учащимся предлагается воспользоваться карточкой № 1 (формат А-4) со следующим содержанием.

Алгоритм решения тригонометрических неравенств.

1. На оси ординат единичной окружности отмечаем точку, соответствующую значению а (примерно).
2. Через полученную точку проводим прямую параллельно другой оси системы координат до пересечения с окружностью (Точки пересечения можно соединить с центром окружности).
3. На единичной окружности в точках пересечения записываем числа, соответствующие этим точкам.
4. Мысленно перемещаем нашу прямую параллельно оси координат в зависимости от значения а.
5. Выделяем штриховкой ту часть дуги единичной окружности, которую перемещающая прямая ее пересекает. Если неравенство строгое, то точки на концах дуги не заштриховываются (выколотые точки).
6. Записываем ответ.

Решение неравенства sinx>

Далее по алгоритму учитель на доске, а учащиеся на карточке проводят последовательные операции на единичных окружностях (рис. 3, а, б, в), рассматривая решение неравенства sin x >

Рис. 3

Записывается ответ:

Уравнение cosx = a.

Учащимся предлагается работа по карточке № 2.

(На карточке – пять единичных окружностей.)

Учащиеся самостоятельно выполняют чертеж иллюстрирующий решение уравнения cosх = а для случая 0

Решение неравенства проводится одним из учащихся на доске. Учащиеся на карточке при максимальной самостоятельности, используя рисунок, записывают решение данного неравенства (Рис. 6, а). При необходимости учитель оказывает помощь учащемуся у доски и учащимся класса. Закрепляется алгоритм решения неравенства.

Рис. 6

Ответ:

После решения этого неравенства учащимся предлагается самостоятельно решить неравенство (Рис. 6, б)

Ответ:

При проверке решений используется изображение на экране.

Уравнения tgx = a, ctgx = a

На экране высвечивается рисунок 7, а, б, по которому разбирается решение уравнений.

Здесь нужно заострить внимание учащихся на наличие двух дуг, симметричных относительно начала координат и в связи с этим на соответствующую запись ответа.

Рис. 7

Учитель у доски объясняет решение данных неравенств. Решение неравенств учащиеся оформляют в тетрадях. Целесообразно рассмотреть решение нестрогих неравенств, чтобы напомнить об области определения тангенса и котангенса, так как строгие неравенства не подчеркивают того, что тангенс и котангенс определены не для любого значения аргумента.

По результатам объяснения учителя учащиеся получают рисунок 8(а, б) с записью ответа.

Рис. 8

Рис. 9

Ответ:

Итог урока. Повторить алгоритм решения тригонометрических неравенств на каком либо примере учебника п.10 (А.Н.Колмогоров и др. Алгебра и начала математического анализа. 10 – Ф45 11-е классы: учебник для общеобразовательных учреждений с приложением на электронном носителе; под редакцией А.Н.Колмогорова. М.: Просвещение, 2009).

Домашнее задание: п.10, материал карточек.