Синус в нулевой степени

Учитывая, что a · 1 = 1 · a = a , единицу можно приписать сомножителем к любому выражению. Сама по себе единица в этом случае ничего не меняет, но её можно представить в иной, удобной для преобразований форме. В частности, пользуясь формулами, которые изображены на цветочке.

1) Например, в виде дроби, в которой числитель равен знаменателю. Часто этот прием позволяет значительно упростить исходное выражение. Но! не будем забывать, что таким образом мы могли изменить область допустимых значений (ОДЗ) выражения и потерять решения. Поэтому нужно уделить особое внимание анализу ОДЗ исходного и нового выражений и проверке проверке полученных результатов.

Итак, если мы представляем единицу дробью, то вводим ограничение
"знаменатель ≠ 0" (на 0 делить нельзя!).
В показанных примерах мы могли внести следующие ограничения:

x ≠ 0 и y ≠ 0;
a−b;
sinx ≠ 0, что равносильно x ≠ πn, где n Є Z;
x > 0, x ≠ 1, y > 0 (по определению логарифма)
и logx y ≠ 0, что равносильно y ≠ 1.

Значит нужно проверить допустимы ли эти значения переменных для исходного выражения. Если да, то не являются ли какие-нибудь из них решением задачи.

2) Любое число в нулевой степени дает единицу. Любое из тех, которые вообще можно возводить в нулевую степень.

В связи с этим вспомним:

  • Для любого числа а определена операция возведения в натуральную степень.
  • Для любого числа а≠0 определена операция возведения в нулевую и целую отрицательную степень.
  • Для любого числа а≠0 определена операция возведения в положительную дробную степень.
  • Для любого а>0 определена операция возведения в отрицательную дробную степень.
  • Для любого а>0 также определена степень с иррациональным показателем.
  • Для любого а>0 определена степень с действительным показателем.

Таким образом, не имеет смысла только нулевая степень числа 0.

Например, здесь запись sin 0 x = 1, не верна для x = πn, где n – произвольное целое число (n Є Z), так как в этих точках sinx = 0. Поэтому заменяя 1 на sin 0 x, мы временно исключаем из рассмотрения указанные значения x.
Подумайте, что можно сказать об остальных 3-ёх примерах?

3) logaa = 1 непосредственно по определению логарифма. (Это можно понимать так: "если при возведении в степень некоторого числа получено это же число, значит возводили в первую степень".) При решении логарифмических уравнений и неравенств очень часто применяют этот приём. Это просто – заменяем единицу на логарифм с нужным основанием и таким же аргументом.

Что мы могли при этом "испортить" в ОДЗ? Скорее всего ничего, потому что, как правило, выбирается то основание логарифма, которое уже присутствует в выражении, а значит учтено в ОДЗ. Тем не менее, помним – по определению а ≠ 1 и а > 0.
Соответственно, в приведенных примерах:

Читайте также:  Симс 4 в кампусе дата выхода

4) Что касается использования формулы sin 2 α + cos 2 α = 1 в тригонометрии, то здесь проблем вообще нет. Функции sinx и cosx определены для любых значений аргумента.

5) То, что произведение тангенса на котангенс того же угла равно единице, тоже несложно запомнить. Однако и tg, и ctg имеют ограничения на область допустимых значений аргументов, которых, естественно, не имеет единица. Таким образом, пользуясь этой формулой, мы исключаем из рассмотрения все значения углов, для которых либо синус, либо косинус равны нулю, т.е. все значения кратные π/2. Не забудьте проверить, как ведет себя исходное выражение при этих значениях аргументов! Можно просто подставить их в условие задачи.

Итак, в приведенных примерах проверке подлежат:

где n, k, m – целые числа.

6) Еще удобнее бывает представлять единицу в другой форме при вычислении числовых значений выражения. Здесь проблем с ОДЗ не возникает, и можно значительно сократить объем работы, если удачно подобрать формулу.

Вычислить значение

(2 + 1)·(2 2 + 1)·(2 4 + 1)·(2 6 + 1)·(2 8 + 1)·(2 16 + 1)×
×(2 32 + 1)·(2 64 + 1) : (2 128 − 1)

Решение

1·(2 + 1)·(2 2 + 1)·(2 4 + 1)·. = (2 − 1)·(2 + 1)·(2 2 + 1)·(2 4 + 1)·.

Замечаем, что к первым двум сомножителям можно применить одну из формул сокращенного умножения, а именно a 2 − b 2 = (ab)·(a + b).

(2 − 1)·(2 + 1) = (2 2 − 1 2 ) = (2 2 − 1)

(2 − 1)·(2 + 1)·(2 2 + 1)·(2 4 + 1)·. = (2 2 − 1)·(2 2 + 1)·(2 4 + 1)·.

Снова видим возможность применения этой формулы

(2 2 − 1)·(2 2 + 1) = (2 4 − 1).

Продолжаем действовать также

(2 4 − 1)·(2 4 + 1) = (2 8 − 1);
(2 8 − 1)·(2 8 + 1) = (2 16 − 1);
(2 16 − 1)·(2 16 + 1) = (2 32 − 1);
(2 32 − 1)·(2 32 + 1) = (2 64 − 1);
(2 64 − 1)·(2 64 + 1) = (2 128 − 1).

Таким образом нам удалось свернуть все сомножители до одного (2 128 − 1). В результате всё выражение приобрело вид:

(2 128 − 1) : (2 128 − 1).

Ответ: 1

Для решения задач на вычисления пользуйтесь идеями, представленными на следующей картинке.

PS: См.также брошюру "Как готовиться к экзамену по математике" Ивлиевой E.Г.

Перейти на главную страницу сайта.

Есть вопросы? пожелания? замечания?
Обращайтесь –
mathematichka@yandex.ru

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.

Тригонометрические формулы обладают рядом свойств, одно из которых это применение формул понижения степени. Они способствуют упрощению выражений при помощи уменьшения степени.

Формулы понижения работают по принципу выражения степени синуса и косинуса через синус и косинус первой степени, но кратного угла. При упрощении формула становится удобной для вычислений, причем повышается кратность угла от α до n α .

Читайте также:  Сильно фонит микрофон в наушниках

Формулы понижения степени, их доказательство

Ниже приводится таблица формул понижения степени со 2 по 4 для sin и cos угла. После ознакомления с ними зададим общую формулу для всех степеней.

sin 2 α = 1 – cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 = 3 · sin α – sin 3 α 4 sin 4 = 3 – 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8

Данные формулы предназначены для понижения степени.

Существует формулы двойного угла у косинуса и синуса, из которых и следуют формулы понижения степени cos 2 α = 1 – 2 · sin 2 α и cos 2 α = 2 · cos 2 α – 1 . Равенства разрешаются относительно квадрата синуса и косинуса, которые предоставляются как sin 2 α = 1 – cos 2 α 2 и cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 .

Формулы понижения степеней тригонометрических функций перекликаются с формулами синуса и косинуса половинного угла.

Имеет место применение формулы тройного угла sin 3 α = 3 · sin α – 4 · sin 3 α и cos 3 α = – 3 · cos α + 4 · cos 3 α .

Если решать равенство относительно синуса и косинуса в кубе, получим формулы понижения степеней для синуса и косинуса:

sin 3 α = 3 – 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 и cos 3 α = 3 · cos α + cos 3 α 4 .

Формулы четвертой степени тригонометрических функций выглядят так: sin 4 α = 3 – 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 и cos 4 α = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 .

Чтобы понизить степени эти выражений, можно действовать в 2 этапа, то есть дважды понижать, тогда это выглядит таким образом:

sin 4 α = ( sin 2 α ) 2 = ( 1 – cos 2 α 2 ) 2 = 1 – 2 · cos 2 α + cos 2 2 α 4 = = 1 – 2 · cos 2 α + 1 + cos 4 α 2 4 = 3 – 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 ; cos 4 α = ( cos 2 α ) 2 = ( 1 + cos 2 α 2 ) 2 = 1 + 2 · cos 2 α + cos 2 2 α 4 = = = 1 + 2 · cos 2 α + 1 + cos 4 α 2 4 = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8

Методом подстановки мы упростили сложное выражение. Для того, чтобы записать общий вид формул понижения степени разделим их на с наличием четных и нечетных показателей. Четные показатели, где n = 2 , 4 , 6 … , выражение имеет вид sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n – 1 · ∑ ( – 1 ) n 2 – k k = 0 n 2 – 1 · C k n · cos ( ( n – 2 · k ) α ) и cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n – 1 ∑ ( – 1 ) n 2 – k k = 0 n 2 – 1 · C k n · cos ( ( n – 2 · k ) α ) .

Нечетные показатели, где n = 3 , 5 , 7 …, выражение имеет вид

sin n α = 1 2 n – 1 · ∑ ( – 1 ) n – 1 2 – k k = 0 n – 1 2 · C k n · cos ( ( n – 2 · k ) α ) и cos n α = 1 2 n – 1 ∑ ( – 1 ) n – 1 2 – k k = 0 n – 1 2 · C k n · cos ( ( n – 2 · k ) α ) .

C p q = p ! q ! · ( p – q ) ! – это число сочетаний из p элементов по q .

Формулы понижения степени общего вида используются на любого выражения с высокой степенью для его упрощения. Рассмотрим пример для понижения кубического синуса. Третья степень нечетная, значит воспользуемся формулой sin n α = 1 2 n – 1 · ∑ ( – 1 ) n – 2 2 – k k = 0 n – 1 2 – k · C k n · sin ( ( n – 2 · k ) α ) где значение n присвоим 3 . Подставляя n = 3 в выражение, получим

Читайте также:  Почему не скачивается приложение с app store

sin 3 α = 1 2 3 – 1 · ∑ ( – 1 ) 3 – 1 2 – k k = 0 3 – 1 2 – k · C k 3 · sin ( ( 3 – 2 · k ) α ) = = 1 4 · ∑ ( – 1 ) 1 – k k = 0 1 · C k 3 · sin ( ( 3 – 2 · k ) α ) = = 1 4 · ( ( – 1 ) 1 – 0 · C 0 3 · sin ( ( 3 – 2 · 0 ) α ) + ( 1 ) 1 – 1 · C 1 3 · sin ( ( 3 – 2 · 1 ) α ) ) = = 1 4 · ( ( – 1 ) 1 · 3 ! 0 ! · 3 ! · sin 3 α + ( – 1 ) 0 · 3 ! 1 ! · ( 3 – 1 ) ! · sin α ) = = 1 4 · ( – sin 3 α + 3 · sin α ) = 3 · sin α – sin 3 α 4

Примеры применения формул понижения степени

Чтобы закрепить материал, необходимо детально разобрать его на примерах с использованием формулы понижения степени. Таким образом будет понятен принцип решения, подстановка и весь алгоритм.

Справедлива ли формула вида cos 4 α = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 при α = α 6 .

Для того, чтобы данная формула прошла проверку на возможность понижения степени с заданным значением угла α , необходимо посчитать левую и правую стороны. По условию имеем, что α = π 6 , тогда 2 α = π 3 , следовательно 4 α = 2 π 3 .

По таблице тригонометрических функций имеем, что cos α = cos π 6 = 3 2 , тогда cos 2 α = cos π 3 = 1 2 .

Для подробного уяснения необходимо проштудировать статью значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Подставляя в формулу, получим cos 4 α = ( cos π 6 ) 4 = ( 3 2 ) 4 = 9 16 и 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8 = 3 + 4 cos π 3 + cos 2 π 3 8 = 3 + 4 · 1 2 + ( – 1 2 ) 8 = 9 16

Отсюда видим, что левая и правая части равенства верны при α = π 6 , значит, выражение справедливо при значении заданного угла. Если угол отличен от α , формула понижения степени одинаково применима.

При помощи формулы понижения степени преобразовать выражение sin 3 2 β 5 .

Кубический синус для угла α имеет формулу вида sin 3 α = 3 · sin α – sin 3 α 4 . В данном случае необходимо выполнить замену α на 2 β 5 и подставить в формулу, тогда получаем выражение вида sin 3 2 β 5 = 3 · sin 2 β 5 – sin ( 3 · 2 β 5 ) 4 .

Это выражение равно равенству sin 3 2 β 5 = 3 · sin 2 β 5 – sin 6 β 5 4 .

Ответ: sin 3 2 β 5 = 3 · sin 2 β 5 – sin 6 β 5 4 .

Для решения сложных тригонометрических уравнений применяют формулы понижения степени. Они способны упростить выражение и сделать его намного удобным для вычислений или подстановки числовых значений.

За расчетом одной из цепей семинарист получил одним из слагаемых синус в нулевой степени. на что студент задал с виду бредовый вопрос: "А почему это функция в нулевой степени равна единице?". Вопрос до сих пор на повестке дня..

предлагается доказать вышесказанное утверждение.

Leave a Reply

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

You may use these HTML tags and attributes:

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>