Система совместна если лямбда равна

В первой части мы рассматривали системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), все коэффициенты которых были известны. В этой же части разберём СЛАУ, среди коэффициентов которых есть некий параметр. Для исследования СЛАУ на совместность станем использовать теорему Кронекера-Капелли. В процессе решения примеров на данной странице будем применять метод Гаусса или же метод Крамера. Сформулируем теорему и следствие из неё ещё раз:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, т.е. $
ang A=
angwidetilde$.

Следствие из теоремы Кронекера-Капелли

    Если $
    ang A
    eq
    angw >Параметр $n$, использованный выше, равен количеству переменных рассматриваемой СЛАУ.

Исследовать СЛАУ $ left <egin& kx_1+2x_2+x_3=8;\ & -x_1+x_2+2x_3=7;\ & x_2+kx_3=5.end
ight.$ на совместность и найти решение системы в зависимости от значений параметра $k$.

Чтобы исследовать заданную систему на совместность, нам нужно найти ранг матрицы системы $A$ и ранг расширенной матрицы системы $widetilde$. Сделать это можно несколькими путями. Стоит учесть, что в данном примере нам требуется не только исследовать систему на совместность, но и указать её решения. Мне кажется наиболее удобным в таких задачах применять метод Гаусса, однако это вовсе не является обязательным. Для разнообразия данный пример решим методом Гаусса, а следующий – методом Крамера. Итак, запишем и начнём преобразовывать расширенную матрицу системы. При записи расширенной матрицы системы поменяем местами первую и вторую строки. Это нужно для того, чтобы первым элементом первой строки стало число -1.

$$ left(egin -1 & 1 &2 &7 \ k & 2 & 1 & 8\ 0 & 1 & k & 5 end
ight) egin
phantom <0>\ r_2+kcdot\ phantom<0>end
ightarrow left(egin
-1 & 1 &2 &7 \ 0 & 2+k & 1+2k & 8+7k\ 0 & 1 & k & 5 end
ight)
ightarrowleft|egin& ext<меняем местами>\& ext<вторую и третью строки>end
ight|
ightarrow \
ightarrow left(egin
-1 & 1 &2 &7 \0 & 1 & k & 5 \ 0 & 2+k & 1+2k & 8+7k end
ight) egin
phantom<0>\phantom<0>\r_3-(2+k)cdotend
ightarrow left(egin
-1 & 1 &2 &7 \0 & 1 & k & 5 \ 0 & 0 & 1-k^2 & 2k-2 end
ight) $$

Читайте также:  Региональные настройки windows 10

Мы привели расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Напомню, что до черты расположена преобразованная матрица матрица системы: $left(egin-1 & 1 &2\0 & 1 & k\ 0 & 0 & 1-k^2end
ight)$.

Каким бы ни было значение параметра $k$, полученная нами после преобразований матрица будет содержать не менее двух ненулевых строк (первая и вторая строки точно останутся ненулевыми). Вопрос о количестве решений зависит лишь от третьей строки.

В следствии из теоремы Кронекера-Капелли указаны три случая, и в данном примере легко рассмотреть каждый из них. Начнём с варианта $
ang A
eq
angwidetilde$, при котором система не имеет решений, т.е. несовместна.

$
ang A
eq
angwidetilde$

Ранги будут не равны друг другу лишь в одном случае: когда $1-k^2=0$, при этом $2k-2
eq<0>$. В этом случае преобразованная матрица системы будет содержать две ненулевых строки (т.е. $
ang A=2$), а преобразованная расширенная матрица системы будет содержать три ненулевых строки (т.е. $
ang w > $$ left <egin& 1-k^2=0;\ & 2k-2
eq<0>. end

ight. Rightarrow left <egin
& k^2=1;\ & k
eq<1>. end

ight. $$

Из первого уравнения имеем: $k=1$ или $k=-1$, однако $k
eq<1>$, поэтому остаётся лишь один случай: $k=-1$. Следовательно, при $k=-1$ система не имеет решений.

$
ang A=
angwidetilde

Система имеет бесконечное количество решений. Найдём эти решения. Подставим $k=1$ в преобразованную матрицу и продолжим операции метода Гаусса. Третью строку (она станет нулевой) просто вычеркнем:

$$ left(egin -1 & 1 &2 &7 \0 & 1 & k & 5 \ 0 & 0 & 1-k^2 & 2k-2 end
ight)
ightarrow|k=1|
ightarrow left(egin
-1 & 1 &2 &7 \0 & 1 & 1 & 5 end
ight)
ightarrowleft|egin& ext<переносим третий столбец>\& ext<за черту>end
ight|
ightarrow \
ightarrowleft(egin
-1 & 1 &-2 &7\0 & 1 & -1 & 5end
ight) egin
r_1-r_2\phantom<0>end
ightarrowleft(egin
-1 & 0 &-1 &2\0 & 1 & -1 & 5end
ight) egin
-1cdot\phantom<0>end
ightarrowleft(egin
1 & 0 &1 &-2\0 & 1 & -1 & 5end
ight) $$

$
ang A=
angw >Рассмотрим третий пункт следствия из теоремы Кронекера-Капелли – ранги равны между собой и равны количеству переменных. Это возможно лишь в том случае, если $1-k^2
eq<0>$, т.е. $k
eq<-1>$ и $k
eq<1>$. Продолжаем решение методом Гаусса:

$$ left(egin -1 & 1 &2 &7 \0 & 1 & k & 5 \ 0 & 0 & 1-k^2 & 2k-2 end
ight)
ightarrow left(egin
-1 & 1 &2 &7 \0 & 1 & k & 5 \ 0 & 0 & (1-k)(1+k) & -2(1-k) end
ight) egin
phantom<0>\phantom<0>\r_3:((1-k)(1+k))end
ightarrow\
ightarrowleft(egin
-1 & 1 &2 &7 \0 & 1 & k & 5 \ 0 & 0 & 1 & -2/(1+k) end
ight) egin
r_1-2r_3\r_2-kcdot\phantom<0>end
ightarrow left(egin
-1 & 1 &0 &(7k+11)/(k+1) \0 & 1 & 0 & (7k+5)/(k+1) \ 0 & 0 & 1 & -2/(1+k) end
ight) egin
r_1-r_2\phantom<0>\phantom<0>end
ightarrow\
ightarrow left(egin
-1 & 0 &0 &6/(k+1)\0 & 1 & 0 & (7k+5)/(k+1) \ 0 & 0 & 1 & -2/(1+k) end
ight) egin
-1cdot\phantom<0>\phantom<0>end
ightarrow left(egin
1 & 0 &0 &-6/(k+1)\0 & 1 & 0 & (7k+5)/(k+1) \ 0 & 0 & 1 & -2/(1+k) end
ight) $$

Читайте также:  Сбросить настройки биос на ноутбуке леново

Исследовать СЛАУ $left <egin& 2kx_1+x_2+x_3=0;\ & x_1-x_2+kx_3=1;\ & (k-6)x_1+2x_2-4x_3=-3.end
ight.$ на совместность и найти решение системы при тех значениях параметра, при которых она совместна.

Вновь, как и в предыдущем примере, для того, чтобы исследовать заданную систему на совместность, нам нужно найти ранг матрицы системы $A$ и ранг расширенной матрицы системы $widetilde$. Чтобы исследовать систему на совместность и указать количество решений применим метод Крамера. Можно было бы решить и методом Гаусса, однако в предыдущем примере мы его уже использовали, поэтому для разнообразия решим задачу с помощью метода Крамера. Начнём с вычисления определителя матрицы системы. Этот определитель мы получим с помощью готовой формулы.

Значения переменных $x_1$, $x_2$, $x_3$ будут такими:

Нам остаётся исследовать совместность системы при условии $Delta=0$. Это равенство возможно при $k=0$ или $k=1$.

Случай $k=0$

Нам остаётся рассмотреть последний случай: $k=1$.

Случай $k=1$

Для наглядности я запишу здесь матрицу системы $A$ и расширенную матрицу системы $w > $$ A=left(egin 2 & 1 & 1\ 1 & -1 & 1\ -5 & 2 & -4end
ight);; w >Если $k=1$, то $Delta=0$. Это значит, что $
ang≤2$. Рассмотрим миноры второго порядка матрицы $A$. Например, возьмём минор, образованный на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1, №2: $M=left|egin
2 & 1\ 1 & -1end
ight|=-3$. Так как $M
eq<0>$, то ранг матрицы $A$ равен 2.

Задача решена, осталось лишь записать ответ.

Разберём ещё один пример, в котором рассмотрим СЛАУ с четырьмя уравнениями.

Исследовать СЛАУ $ left <egin& kx_1+x_2+x_3+x_4=1;\ & x_1+kx_2+x_3+x_4=1;\ & x_1+x_2+kx_3+x_4=1;\ & x_1+x_2+x_3+kx_4=1.end
ight.$ на совместность и найти решение системы в зависимости от значений параметра $k$.

Применим метод Гаусса. При записи расширенной матрицы системы поместим первую строку вниз, на место четвёртой строки. А дальше начнём стандартные операции метода Гаусса.

$$ left(egin 1 & k &1 &1&1 \ 1 & 1 &k &1&1 \ 1 & 1 &1 &k&1 \ k & 1 &1 &1&1 end
ight) egin
phantom<0>\r_2-r_1\r_3-r_1\r_4-kcdotend
ightarrow left(egin
1 & k &1 &1&1\ 0 & 1-k &k-1 &0&0\ 0 & 1-k &0&k-1&0\ 0 & 1-k^2 &1-k &1-k&1-kend
ight) $$

Здесь можно было бы остановиться и рассмотреть случаи $k=1$ и $k
eq<1>$ отдельно. Цель таких действий: разделить вторую, третью и четвёртую строки на $k-1$ при условии $k-1
eq<0>$. Однако пока что полученная нами матрица содержит не столь уж громоздкие элементы, поэтому сейчас отвлекаться на частности я не вижу смысла. Продолжим преобразования в общем виде:

$$ left(egin 1 & k &1 &1&1\ 0 & 1-k &k-1 &0&0\ 0 & 1-k &0&k-1&0\ 0 & 1-k^2 &1-k &1-k&1-kend
ight) egin
phantom<0>\phantom<0>\r_3-r_2\r_4-(k+1)r_2end
ightarrow \
ightarrow left(egin
1 & k &1 &1&1\ 0 & 1-k &k-1 &0&0\ 0 & 0 &1-k&k-1&0\ 0 & 0 &(1-k)(k+2) &1-k&1-kend
ight) egin
phantom<0>\phantom<0>\phantom<0>\r_4-(k+2)r_3end
ightarrow \
ightarrow left(egin
1 & k &1 &1&1\ 0 & 1-k &k-1 &0&0\ 0 & 0 &1-k&k-1&0\ 0 & 0 &0&(1-k)(k+3)&1-kend
ight) $$

Мы привели расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. До черты расположена преобразованная матрица системы. Ранги матриц $A$ и $w >

Читайте также:  Почему включается украинский яндекс

Случай $k=-3$

Если $k=-3$, то преобразованная матрица станет такой: $left(egin 1 & -3 &1 &1&1\ 0 & 4 &-4 &0&0\ 0 & 0 &4&-4&0\ 0 & 0 &0&0&4end
ight)$. Так как $
ang=3$ и $
ang

Случай $k=1$

Если $k=1$, то преобразованная матрица станет такой: $left(egin 1 & 1 &1 &1&1\ 0 & 0 &0 &0&0\ 0 & 0 &0&0&0\ 0 & 0 &0&0&0end
ight)$. Ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы равны между собой (и равны 1), но меньше, чем количество переменных, т.е. $
ang=
ang <w >$$x_1+x_2+x_3+x_4=1; Rightarrow ; x_1=-x_2-x_3-x_4+1.$$

Случай $k
eq<1>$ и $
eq<-3>$

Продолжим решение методом Гаусса. Так как $k
eq<1>$ и $
eq<-3>$, то $(1-k)(k+3)
eq<0>$. Следовательно, мы можем разделить вторую и третью строки на $1-k$, четвёртую строку – на выражение $(1-k)(k+3)$. С полученной после этого матрицей продолжим операции обратного хода метода Гаусса:

$$ left(egin 1 & k &1 &1&1\ 0 & 1 &-1 &0&0\ 0 & 0 &1&-1&0\ 0 & 0 &0&1&frac<1>end
ight) egin
r_1-r_4\phantom<0>\phantom<0>\r_3+r_4end
ightarrow left(egin
1 & k &1 &0&frac\ 0 & 1 &-1 &0&0\ 0 & 0 &1&0&frac<1>\ 0 & 0 &0&1&frac<1>end
ight) egin
r_1-r_3\r_2+r_3\phantom<0>\phantom<0>end
ightarrow\
ightarrowleft(egin
1 & k &0 &0&frac\ 0 & 1 &0 &0&frac<1>\ 0 & 0 &1&0&frac<1>\ 0 & 0 &0&1&frac<1>end
ight) egin
r_1-kcdot\phantom<0>\phantom<0>\phantom<0>end
ightarrow left(egin
1 & 0 &0 &0&frac<1>\ 0 & 1 &0 &0&frac<1>\ 0 & 0 &1&0&frac<1>\ 0 & 0 &0&1&frac<1>end
ight) $$

Из последней матрицы имеем: $x_1=x_2=x_3=x_4=frac<1>$.

  • При $k=-3$ система несовместна.
  • При $k=1$ система является неопределённой. Общее решение системы: $left<egin& x_1=-x_2-x_3-x_4+1;\&x_2in,;x_3in,;x_4in. end
    ight.$
  • При $k
    eq<-3>$ и $k
    eq<1>$ система является определённой. Решение системы: $x_1=x_2=x_3=x_4=frac<1>$.
Главная ≫ Форум ≫ Математика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Учебные задачи ≫ Найдите общее решение линейной системы в зависимости от значения параметра лямбда

Сообщения: 1
# 12 Мар 2016 11:10:39
Math

Найдите общее решение линейной системы в зависимости от значения параметра . При каких значениях система допускает решение с помощью обратной матрицы?

тогда систему можно записать в виде .

Приравнивая к нулю, найдем, что при и .

Если и , то матрица имеет обратную

и решение имеет вид .

Если аккуратно перемножить и упростить, получим .

Случаи и рассматриваются отдельно. Нужно просто подставить и решить как обычную систему линейных уравнений с числовыми коэффициентами без параметров, например, методом гаусса.

Можно не использовать обратную матрицу, а применить метод редукции гаусса к расширенной матрице, учитывая, что и ,

При расширенная матрица

Следовательно решения имеют вид , или в матричном виде:

Эта страничка поможет решить Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом Гаусса, матричным методом или методом Крамера, исследовать их на совместность (теорема Кронекера-Капелли), определить количество решений, найти общее, частное и базисные решения.

Введите коэффициенты при неизвестных в поля. Если Ваше уравнение имеет меньшее количество неизвестных, то оставьте пустыми поля при переменных, не входящих в ваше уравнение. Можно использовать дроби ( 13/31 ).

Leave a Reply

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

You may use these HTML tags and attributes:

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>