Сколькими способами можно сделать трехцветный флаг

уЛПМШЛЙНЙ УРПУПВБНЙ НПЦОП УДЕМБФШ ФТЈИГЧЕФОЩК ЖМБЗ У ЗПТЙЪПОФБМШОЩНЙ РПМПУБНЙ ПДЙОБЛПЧПК ЫЙТЙОЩ, ЕУМЙ ЙНЕЕФУС НБФЕТЙС ЫЕУФЙ ТБЪМЙЮОЩИ ГЧЕФПЧ?

тЕЫЕОЙЕ

гЧЕФ ДМС ЧЕТИОЕК РПМПУЛЙ ЖМБЗБ НПЦОП ЧЩВТБФШ ЫЕУФША ТБЪОЩНЙ УРПУПВБНЙ. рПУМЕ ЬФПЗП ДМС УТЕДОЕК РПМПУЛЙ ЖМБЗБ ПУФБЕФУС РСФШ ЧПЪНПЦОЩИ ГЧЕФПЧ, Б ЪБФЕН ДМС ОЙЦОЕК РПМПУЛЙ ЖМБЗБ – ЮЕФЩТЕ ТБЪМЙЮОЩИ ГЧЕФБ. фБЛЙН ПВТБЪПН, ЖМБЗ НПЦОП УДЕМБФШ 6·5·4 = 120 УРПУПВБНЙ.

пФЧЕФ

йУФПЮОЙЛЙ Й РТЕГЕДЕОФЩ ЙУРПМШЪПЧБОЙС

ЛОЙЗБ
бЧФПТ зЕОЛЙО у.б., йФЕОВЕТЗ й.ч., жПНЙО д.ч.
зПД ЙЪДБОЙС 1994
оБЪЧБОЙЕ мЕОЙОЗТБДУЛЙЕ НБФЕНБФЙЮЕУЛЙЕ ЛТХЦЛЙ
йЪДБФЕМШУФЧП лЙТПЧ: "буб"
йЪДБОЙЕ 1
ЗМБЧБ
оПНЕТ 3
оБЪЧБОЙЕ лПНВЙОБФПТЙЛБ-1
фЕНБ лМБУУЙЮЕУЛБС ЛПНВЙОБФПТЙЛБ
ЪБДБЮБ
оПНЕТ 012

рТПЕЛФ ПУХЭЕУФЧМСЕФУС РТЙ РПДДЕТЦЛЕ Й .

а) Цвет верхней полосы можно выбрать шестью способами. При каждом способе такого выбора остаётся по пять способов выбрать цвет средней полосы (чтобы он не совпадал с цветом верхней полосы). Наконец, при каждом способе выбора цветов верхней и средней полос остаётся по четыре способа выбрать цвет для нижней полосы (чтобы он не совпадал с цветами первых двух полос). Итого получаем 6·5·4 = 120 способов.

б) Сначала выберем, какая из трёх полос флага будет красной (это можно сделать тремя способами). После этого неокрашенными останутся ещё две полосы. Для той из них, которая расположена выше, есть пять способов выбрать цвет (можно использовать любой из имеющихся цветов, кроме красного). После этого для оставшейся полосы есть четыре способа выбрать цвет (любой, кроме красного и использованного для предыдущей полосы). Итого получаем 3·5·4 = 60 способов.

в) Сначала посчитаем количество флагов, в которых используется строго меньше трёх цветов. Одноцветным такой флаг быть не может (иначе три одноцветные полосы шли бы подряд, а это запрещено условием). Значит, он может быть только двухцветным, причём верхняя и нижняя полоса должны быть покрашены в один и тот же цвет, а средняя — в другой. Покрасить верхнюю и нижнюю полосы можно шестью разными способами, после этого среднюю полосу можно покрасить (в другой цвет) пятью способами. Итого получаем 6·5 = 30 флагов, в которых используется строго меньше трёх цветов. А теперь к этому числу надо добавить число трёхцветных флагов, которое мы нашли в пункте а). Итого получим 120 + 30 = 150 флагов.

Читайте также:  Последовательность 1 11 21 1211 111221

Посчитаем отдельно количество способов собрать портфель, взяв 2, 3 и 4 учебника соответственно, а затем сложим эти три числа.

Если Вовочка берёт ровно два учебника, то он берёт 4 книги про Гарри Поттера. Число способов выбрать два учебника из четырёх равно C4 2 = 4·3 : 2 = 6 (вспомните предыдущее занятие). А число способов выбрать четыре книги про Гарри Поттера из семи равно C7 4 = C7 3 = 7·6·5 : (3·2·1) = 35 (здесь мы воспользовались результатами первых двух задач предыдущего занятия). Значит, число способов положить в портфель два учебника и четыре книги про Гарри Поттера равно 6·35 = 210.

Аналогично считается количество способов положить в портфель три учебника и три книги про Гарри Поттера (оно равно C4 3 ·C7 3 = C4 1 ·C7 3 = 4· 35 = 140) и количество спобов положить в портфель четыре учебника и две книги про Гарри Поттера (оно равно C4 4 ·C7 2 = 1· 7·6 : 2 = 21).

Итого у Вовочки есть C4 2 · C7 4 + C4 3 · C7 3 + C4 4 · C7 2 = 210 + 140 + 21 = 371 способ собрать портфель.

Сначала будем выбирать количество используемых пятирублёвых монет, затем — количество используемых двухрублёвых монет, а оставшуюся сумму (если она ещё ненулевая) будем добирать рублёвыми монетами.

а) Если использовать четыре пятёрки, то другие монеты уже не нужны, и получаем один способ. Если использовать три пятёрки, то останется добрать ещё 20 − 5·3 = 5 рублей, и можно использовать 0, 1 или 2 двойки (3 двойки — это уже 6 рублей, то есть слишком много) — ещё три способа. Если использовать две пятёрки, то останется добрать ещё 20 − 5·2 = 10 рублей, и можно использовать от 0 до 5 двоек — ещё 6 способов. Если использовать одну пятёрку, то останется добрать ещё 20 − 5·1 = 15 рублей, и можно использовать от 0 до 7 двоек — ещё 8 способов. Наконец, если пятёрки вообще не использовать, то двоек можно использовать от 0 до 10 — ещё 11 вариантов. Итого получим 1+3+6+8+11 = 29 вариантов.

б) Рассуждая аналогично предыдущему пункту, получим сумму 1 + 3 + 6 + 8 + . + 93 + 96 + 98 + 101 = (1 + 6 + 11 + . + 96 + 101) + (3 + 8 + 13 + . + 93 + 98) = 1071 + 1010 = 2081. (О том, как легко посчитать такие суммы, можно прочесть в решениях задач прошлогоднего занятия по теме «Последовательности» для 6 класса: ).

Читайте также:  Почему стала виснуть игра

Пусть имеется некоторое множество, содержащее n элементов. Выберем из этого множества k элементов без возвращения, но упорядочивая их по мере их выбора в последовательную цепочку. Такие цепочки называются размещениями.

Размещениями из n элементов по k элементов называются такие комбинации, из которых каждое содержит k элементов, взятых из числа данных n элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одного), либо порядком их расположения.

Поясним это на следующем примере. Пусть имеется три элемента: a, b и c. Тогда из этих трёх элементов можно составить шесть размещений по два элемента: ab, ac, ba, bc, ca, cb. Все приведённые размещения отличаются друг от друга хотя бы одним элементом или порядком их расположения.

Число размещений (читается: число размещений из n элементов по k элементов) можно найти из принципа умножения. Первый элемент размещения можно выбрать n способами. Как только такой выбор будет сделан, останется (n–1) возможностей, чтобы выбрать второй элемент; после этого останется (n–2) возможностей для выбора третьего элемента и т. д.; для выбора k-го элемента будет (n–k+1) возможностей. По принципу умножения находим

. (4.1)

Легко понять, что .

Пример 4.1. В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить 4 различных фотографии. Сколькими способами это можно сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?

Решение. Для размещения фотографий следует отобрать 4 различных страницы из 12 имеющихся. Затем нужно отобранные страницы упорядочить, т. е. определить, на какую страницу поместить первую фотографию, на какую – вторую и т. д. Полученная упорядоченная совокупность страниц является, согласно определению, размещением из 12 элементов по 4, а число таких размещений является искомым результатом:

.

Пример 4.2. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, если имеются ткани пяти различных цветов? Решите эту же задачу при условии, что одна полоса должна быть красной.

Решение. Поскольку в данной задаче важен порядок следования полос и все цвета во флаге должны быть разными, то исходная задача сводится к подсчету числа размещений из 5 по 3:

Читайте также:  Расширение swf что это

способов.

При условии, что одна полоса должна быть красной, получаем, что для выбора места для красной полосы существует 3 способа, а для оставшихся двух полос останется способов. Таким образом, трехцветный полосатый флаг из имеющихся 5 цветов при условии, что один цвет должен быть красным можно составить

способами.

Пример 4.3. Сколькими способами 10 человек можно поставить парами в ряд?

Решение. Первую пару можно выбрать способами, вторую – способами, и т. д. В результате получаем

способами.

4.1. Научное общество состоит из 25 человек. Надо выбрать президента общества, вице-президента, ученого секретаря и казначея. Сколькими способами может быть сделан этот выбор, если каждый член общества может занимать лишь один пост?

Ответ: В этом случае надо число размещений из 25 элементов по 4. Здесь играет роль и то, кто будет выбран в руководство общества, и то, какие посты займут выбранные. Поэтому ответ дается формулой .

4.2. В цехе работают 8 токарей. Сколькими способами можно поручить трем из них изготовление различных видов деталей (по одному виду на каждого).

Ответ: .

4.3. Из 10 книг выбирают 4 для рассылки по разным адресам. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ: .

4.4. Сколькими способами можно опустить 5 писем в 11 почтовых ящиков, если в каждый ящик опускают не более одного письма?

Ответ: .

4.5. Студенту необходимо сдать 5 экзаменов в течение 12 дней. Сколькими способами можно составить расписание экзаменов, если в течение дня он может сдать не более одного экзамена?

Ответ: .

4.6. Сколькими способами можно преподнести 4 различных подарка 6 ученикам таким образом, чтобы каждый ученик получил не более одного подарка?

Ответ: .

4.7. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, …, 9, если каждая цифра в обозначении числа встречается не более одного раза? (Учесть, что число не может начинаться с нуля.)

Ответ: .

Leave a Reply

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

You may use these HTML tags and attributes:

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>