Сколько подмножеств можно образовать из трехэлементного множества

На простом примере напомним, что называется подмножеством, какие бывают подмножества (собственные и несобственные), формулу нахождения числа всех подмножеств, а также калькулятор, который выдает множество всех подмножеств.

Пример 1. Дано множество А = <а, с, р, о>. Выпишите все подмножества
данного множества.

Решение:

Несобственные: <а, с, р, о>, Ø.

Всего: 16 подмножеств.

Пояснение. Множество A является подмножеством множества B если каждый элемент множества A содержится также в B.

• пустое множество ∅ является подмножеством любого множества, называется несобственным;
• любое множество является подмножеством самого себя, также называется несобственным;
У любого n-элементного множества ровно 2 n подмножеств.

Последнее утверждение является формулой для нахождения числа всех подмножеств без перечисления каждого.

Вывод формулы: Допустим у нас имеется множество из n-элементов. При составлении подмножеств первый элемент может принадлежать подмножеству или не принадлежать, т.е. первый элемент можем выбрать двумя способами, аналогично для всех остальных элементов (всего n-элементов), каждый можем выбрать двумя способами, и по правилу умножения получаем: 2∙2∙2∙ . ∙2=2 n

Для математиков сформулируем теорему и приведем строгое доказательство.

Теорема . Число подмножеств конечного множества, состоящего из n элементов, равно 2 n .

1. Для n = 1 (база индукции) (и даже для n = 2, 3) теорема доказана.

2. Допустим, что теорема доказана для n = k, т.е. число подмножеств множества, состоящего из k элементов, равно 2 k .

3. Докажем, что число подмножеств множества B, состоящего из n = k + 1 элемента равно 2 k+1 .
Выбираем некоторый элемент b множества B. Рассмотрим множество A = B . Оно содержит k элементов. Все подмножества множества A – это подмножества множества B, не содержащие элемент b и, по предположению, их 2 k штук. Подмножеств множества B, содержащих элемент b, столько же, т.е. 2 k
штук.

Следовательно, всех подмножеств множества B: 2 k + 2 k = 2 ⋅ 2 k = 2 k+1 штук.
Теорема доказана.

В примере 1 множество А = состоит из четырех элементов, n=4, следовательно, число всех подмножеств равно 2 4 =16.

Если вам необходимо выписать все подмножества, или составить программу для написания множества всех подмножеств, то имеется алгоритма для решения: представлять возможные комбинации в виде двоичных чисел. Поясним на примере.

Читайте также:  Расстояние от точки броска до точки падения

Пример 2. Eсть множество , в соответствие ставятся следующие числа:
000 = <0>(пустое множество)
001 =
010 =
011 =

100 =
101 =

110 =

111 =

Калькулятор множества всех подмножеств.

В калькуляторе уже набраны элементы множества А = , достаточно нажать кнопку Submit. Если вам необходимо решение своей задачи, то набираем элементы множества на латинице, через запятую, как показано в примере.

Если задано некоторое множество А, то можно рассматривать новое множество М (А) – множество всех его подмножеств.

Пример 1. Сколько подмножеств имеет множество А=<>?

По свойствам отношения включения, имеем ÆА и А.

Таким образом, одноэлементное множество А=<> имеет 2 подмножества.

Пример 2. Сколько всего подмножеств имеет двухэлементное множество А=, в>?

По свойствам отношения включения, имеем ÆА и А.

Таким образом, двухэлементное множество А=, в> всего имеет 4 подмножества.

Пример 3. Сколько всего подмножеств имеет трехэлементное множество А = <, ○, ◊>?

По свойствам отношения включения, имеем ÆА и А.

Таким образом, трехэлементное множество А = <, ○, ◊> всего имеет 8 подмножеств.

Пример 4. Сколько всего подмножеств имеет четырехэлементное множество А = , в, с, d>?

По свойствам отношения включения, имеем ÆА и А.

Таким образом, четырехэлементное множество всего имеет 16 подмножеств.

Нетрудно заметить, что с увеличением количества элементов множества А, число всех его подмножеств значительно увеличивается. Возникает вопрос: сколько подмножеств имеет множество из n – элементов?

Ответ на поставленный вопрос дает следующее утверждение.

 Доказательство проведем, используя метод математической индукции.

В этом случае п(М(А1)) = 2 1 = 2 что и доказывает справедливость теоремы при п = 1.

Предположим, что п(М(Aк)) = 2, то есть множество Aк имеет 2 подмножеств.

3) Докажем, что тогда множество Aк+1, имеет 2 подмножеств. В самом деле, если к элементам множества Aк, содержащего к элементов, добавить еще один элемент aк+1, то к имеющимся 2 подмножествам добавятся еще 2 новых подмножества, и, следовательно, множество Aк+1, содержащее к + 1 элементов, будет иметь 2 + 2 = 2 2 = 2 подмножеств.

Читайте также:  Слово если поменять буквы местами

Таким образом, п(М(Aк+1)) = 2.

На основании метода математической индукции можно сделать вывод, что Теорема. 5 справедлива для любого натурального числа п. Теорема доказана.

Понятие факториала

Название «факториал» происходит от слова «factor» − «множитель». Термин «factorielle» ввёл французский математик Луи Арбогаст (1759–1803) в 1800 году. 13

Факториал – это функция, определённая на множестве целых неотрицательных чисел , значение которой равно произведению целых неотрицательных чисел от 1 до данного числаn, то есть 1∙2∙3∙ …∙n; Обозначают символом n!.

По определению 0! = 1, 1! = 1.

Обозначение n! впервые использовал французский математик Христиан Крамп (1760 – 1826 гг.) в 1808 году.

По определению факториала имеем: ,.

Пример 1. Вычислим:

Пример 2. Упростим выражение:

Пример 3. Докажем формулу .

 Воспользуемся методом математической индукции.

При п=1 имеем, откуда 1=1, значит дляп=1 формула верна.

Предположим, что формула верна, для п=к, то есть .

Докажем, что формула верна, для п=к+1, то есть

.

Действительно,

=, что и требовалось доказать.

На основании метода математической индукции заключаем, что формула верна для любого натурального числа п.

Пример 4. Найти сумму

Решение. Заменим каждое слагаемое разностью по формуле

.

Имеем,

=так как все слагаемые в левой части равенства, за исключением второго и предпоследнего взаимно уничтожаются.

Следовательно, =

Какое наибольшее количество подмножеств можно выбрать из множества 1; 2; 3;…; 2013 так чтобы объединив два любых подмножества получить подмножество, содержащее 3 элемента.

задан 28 Фев ’13 20:19

serg55
7.2k ● 33 ● 157
95&#037 принятых

2 ответа

Подмножества должны содержать равное количество элементов. По одному мало. По три много. Остается по 2, причем все подмножества должны иметь общую цифру. Выбрать эту цифру можно 2013 способами, для выбора второй есть 2012 вариантов (любое число без уже выбранного). Тогда число всех подмножеств $%2013cdot 2012 /2 $%, с учетом того, что множество не изменяется при перестановке его элементов.

Читайте также:  Правовая база консультант плюс

отвечен 28 Фев ’13 23:56

Здесь подсчитано общее количество двухэлементных подмножеств. Но среди них есть, например, $%<1,2>$% и $%<3,4>$%. Их объединение не будет трёхэлементным.

Согласна, что немного перестаралась. Посчитано общее число комбинаций. А разных подмножеств при фиксированном одном элементе будет 2012.

Наибольшее количество равно $%2012$%. Оно получается так: фиксируем один из элементов, и рассматриваем все двухэлементные подмножества, его содержащие. Их будет столько, сколько имеется оставшихся элементов, то есть $%2012$%.

Докажем, что именно это число является наибольшим. Понятно, что в нашей системе не может быть подмножеств более чем из трёх элементов. Допустим, что имеется трёхэлементное множество. Тогда все остальные множества будут в нём содержаться, а таких подмножеств явно мало: "рекорд" этим не будет превзойдён. (Здесь получается максимум $%4$% подмножества: система из $%$%, $%$%, $%$%, $%$% условиям задачи в принципе удовлетворяет, но в ней всего $%4$% подмножества.)

Итак, пусть в каждом из подмножеств не более двух элементов. Легко понять, что пустого подмножества в системе нет. Если есть одноэлементное подмножество $%$%, то оно всего одно. Остальные будут двухэлементными, и среди них любые два обязаны иметь общий элемент, отличный от $%a$%. Если они имеют общий элемент $%b$%, то таких подмножеств не более $%2011$%, и вместе с $%$% получается система из $%2012$% подмножеств. А если общего элемента нет, то легко проверить, что тогда подмножеств без $%a$% максимум три: они имеют вид $%$%, $%$%, $%$%.

Наконец, если все рассматриваемые подмножества двухэлементны, то либо все они имеют общий элемент, и тогда их $%2012$%; либо это не так, и тогда их максимум три — с описанной в предыдущем абзаце структурой.

Leave a Reply

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

You may use these HTML tags and attributes:

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>