Ответ или решение 1

Палиндром – число, которое читается в обратном порядке также, как и в обычном порядке.

Пятизначный палиндром будет включать в себя от 1 до 3х цифр от 0 до 9 включительно. Причем окончание числа = 0 исключается.

Т.е. нам надо найти количество 3х-значных чисел, не оканчивающихся на 0. При этом в 3х-значном числе 0 на первом месте вполне может быть, так как в пятизначном 0 окажется в центре.

Первой возможной комбинацией будет 001 (для числа 10 001).

Последней комбинацией будет 999 (для числа 99 999).

Из общего количества комбинаций 999 надо исключить все комбинации, имеющие на последнем месте 0 – это каждое 10е число из 999 (или из 1 000 минус 1). Таких чисел:

Задание 19. а) Приведите пример числа-палиндрома, который делится на 15.

б) Сколько существует пятизначных чисел-палиндромов, делящихся на 15?

в) Найдите 37-е по величине число-палиндром, которое делится на 15.

а) Число-палиндром – это число, которое остается неизменным, если его читать наоборот. Возьмем четырехзначное число-палиндром и составим его из цифр a и b, получим: abba. Нужно подобрать цифры a и b так, чтобы число abba делилось на 15, т.е. оно должно быть кратно 15. Чтобы число было кратно 15, цифра a должна быть равна 5. Остается подобрать цифру b так, чтобы число было кратно 15, получим:

– число 5115 – кратно 15;

– число 5225 – не кратно 15;

– число 5335 – не кратно 15;

– число 5445 – кратно 15;

Ответ: 5115; 5445.

б) Чтобы число делилось на 15, последняя цифра должна быть 5 (0 на конце недопустим), получим числа по форме 5aba5. Также это число должно делиться еще и на 3, т.к. , где 3 и 5 – простые числа. Признаком делимости числа на 3 является то, что сумма цифр числа делится на 3, таким образом, получаем условие:

должно быть кратно 3. Очевидно, цифра b может быть от 0 до 9, имеем:

– для b=0: ;

– для b=1: ;

– для b=2: ;

– для b=3: .

Дальше все повторяется, т.к. сумма увеличилась на 3. Таким образом, в первой тройке значений имеем 10 вариантов чисел-палиндромов. Аналогично для второй и третьей тройки. В последнем варианте при b=9 имеем 3 варианта и того 30+3=33 варианта.

в) Найдем 37-е по счету число-палиндром, начиная с самого младшего, т.е. с трехзначного числа типа 5a5, затем переберем четырехзначные 5aa5, получим:

Итак, имеем 6 первых чисел-палиндромов. В соответствии со схемой, представленной в пункте б), найдем 37-е число-палиндром. По сути, нужно найти 37-6=31-е пятизначное число-палиндром, которое будет соответствовать b=2 и a=9, т.е. получим число

И снова приветствую всех тех, кто серьёзно готовится к профильному ЕГЭ и всерьёз претендует на решение самых сложных задач 19 (они же С6)! Как и обещал, продолжаем разбирать самые разнообразные и необычные задачи на теорию чисел и способы успешно расправляться с такими монстрами. Хотя для подготовленного ученика в задачах 19 страшного особо ничего и нету.)

Использование признаков делимости и перебора на ограниченном множестве. Задача про числа-палиндромы.

В данном материале я хотел бы разобрать очередную необычную и не самую сложную задачку про так называемые числа-палиндромы. Для начала, что это вообще за зверь такой (для тех, кто не в курсе)?

Палиндром – это слово, число или даже целый текст, одинаково читающееся в обоих направлениях. Как слева направо, так и справа налево.

Число 12321, слово «ротор», красивое женское имя Анна, словосочетание «искать такси», а также всем известная бородатая фраза «А роза упала на лапу Азора». В общем, идея понятна, я думаю. 🙂

В нашей задаче, разумеется, речь пойдёт о числах. Что ж, давайте теперь посмотрим на саму задачу.

Вот такая вот задачка. Как к ней подступиться? Ну, во-первых, в каждом из пунктов речь идёт о делимости на 15. Стало быть, нашей отправной точкой будут признаки делимости чисел нацело. Это тема 6-го класса средней школы. Других вариантов просто нет. И какие же это признаки, спросите вы?

Вспоминаем 6-й класс, ищем там признак делимости на 15 и… вы правы! Такого признака нету. Но! Зато есть признаки делимости чисел на 3 и на 5. А что такое 15? Это не что иное, как 3·5! Элементарно, Ватсон! 🙂 Стало быть, если какое-либо натуральное число одновременно делится нацело на тройку и пятёрку, то автоматически оно будет делиться и на пятнадцать. Поэтому давайте-ка быстренько освежим в памяти признаки делимости чисел на 3 и на 5. Вот они:

Признак делимости на 3

Натуральное число делится нацело на 3 , если сумма его цифр делится на 3.

Скажем, число 12384 точно поделится на 3, так как сумма его цифр 1+2+3+8+4 = 18 делится на 3. А вот 23576 даже и пытаться не стоит, так как его сумма цифр 2+3+5+7+6 = 23 не делится на 3.

Признак делимости на 5

Натуральное число делится нацело на 5 , если оно заканчивается цифрой 0 или 5.

Например, на 5 делится число 12345, так как оно заканчивается на пятёрку. Или 1234567890, так как оно заканчивается нулём. Ну, в общем, вы поняли. Признак очень простой.

Значит, натуральное число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно одновременно делится на 3 (по сумме цифр) и на 5 (по последней цифре). Что ж, теоретическая база подготовлена, пора приступать к разбору нашей задачи. Итак,

а) Приведите пример числа-палиндрома, который делится на 15.

Прежде чем что-то решать, давайте посмотрим, как вообще устроены числа-палиндромы:

Здесь a, b, c и так далее – цифры натурального числа. В общем случае – различные. Черта сверху ставится для того, чтобы обозначить тот факт, что перед нами именно цифры, а не произведение типа a·b·c.

означает трёхзначное натуральное число, которое в десятичной форме запишется так:

Что ж, давайте теперь искать числа-палиндромы, делящиеся на 15. Для начала поищем их среди двузначных чисел. Это числа 11, 22, 33, 44 и так далее до 99. Можно заметить, что все они делятся на простое число 11:

И так далее. Наименьшее число, которое делится как на 11, так и на 15 – это 11·3·5 = 165 – уже трёхзначное. Облом. Значит, среди двузначных чисел таковых нету.

Что ж, поехали шерстить трёхзначные числа. 🙂 Трёхзначное число-палиндром имеет вид

Раз оно делится на 15, то должно делиться как на 5 (по последней цифре), так и на 3 (по сумме цифр).

Значит, согласно признаку делимости на 5, последняя цифра (a) может быть только 0 или 5. Третьего не дано. 🙂

А теперь прикинем. Если a = 0, то наше число имеет вид

и никак не является трёхзначным. Значит, единственный устраивающий нас вариант – это

Поэтому трёхзначные числа-палиндромы, делящиеся на 5, имеют вид:

Что ж, кое-чего уже проясняется. 🙂

А теперь в игру дополнительно вступает признак делимости на 3. Составляем сумму цифр:

где b, будучи цифрой числа, принимает значения 0, 1, 2, 3, …, 9.

Теперь понятно, как расправиться с пунктом а). Подберём число b так, чтобы выражение для суммы цифр 10 + b делилось бы на 3. Например, при b = 2 получим:

10+b = 10+2 = 12 – делится на 3.

Следовательно, самое первое по счёту трёхзначное (и вообще глобально) число-палиндром, делящееся на 15, – это число 525.

Всё, этого вполне достаточно для ответа на вопрос пункта а).

Ответ: Например, 525.

Переходим к пункту б).

б) Сколько существует пятизначных чисел-палиндромов, делящихся на 15?

Все пятизначные числа-палиндромы имеют вид:

Здесь снова рулят признаки делимости чисел на пятёрку и на тройку. Как и в предыдущем пункте, начнём с признака делимости на 5. Это означает, что последняя цифра в нашем числе (т.е. а) может быть равна либо нулю, либо пятёрке.

Нулём цифра а быть никак не может, поскольку в таком случае наше число примет вид

и попросту не будет пятизначным. Значит, а = 5 (и только 5).

Итак, наши пятизначные кандидаты предварительно обретают вот такой вид:

Теперь снова подключаем признак делимости чисел на 3 по сумме цифр. В нашем случае:

5 + b + c + b + 5 = 10 + 2b + c — должно делиться на 3.

В предыдущем пункте мы варьировали только одну единственную цифру b, добиваясь делимости на 3 суммы цифр (напомню, это было выражение 10+b). Здесь же нам надо варьировать уже две цифры – b и c. И как нам теперь быть? Ведь число всевозможных вариантов стало гораздо больше! Да, не спорю, больше. На первый взгляд может показаться, что вариантов и вправду довольно много и перебирать их все очень долго и муторно. Но давайте подумаем: ведь b и с – не просто числа, а цифры натурального числа. Которые могут принимать очень ограниченные значения – 0, 1, 2, 3, …, 9. Поэтому, если мы как-то зафиксируем b, последовательно придавая ему значения от 0 до 9, то в каждом из случаев варьировать уже придётся только одну цифру c. Давайте посмотрим, как это делается. Первый случай я разберу подробно, а остальные – кратко.

Итак, первый вариант b = 0. Тогда сумма цифр 10 + 2b + c нашего числа будет равна:

Когда выражение 10+c делится на 3? Очевидно, в трёх ситуациях:

10+c = 12 (тогда c = 2),

10+c = 15 (тогда c = 5),

10+c = 18 (тогда c = 2).

Всё. Больше, чем 8 (например, 11) число с быть уже никак не может. Ещё раз напоминаю, что наши буковки – это на самом деле циферки. 🙂 То есть, 0, 1, 2, …, 9. Этот случай дал нам три пятизначных числа-палиндрома делящихся на 15. Какие же это числа? Пожалуйста, вот они:

50205, 50505 и 50805 (3 числа).

Пусть теперь b = 1. В этом случае сумма цифр нашего числа будет такая:

Добиваясь теперь, чтобы выражение 12+c делилось на 3, получим с = . Итого выплыли ещё 4 числа-палиндрома (51015, 51315, 51615, 51915).

Уловили закономерность? 🙂 Да! Надо разобрать оставшиеся 8 случаев. Не так уж и много, по большому счёту. Добрый вечер! Буду краток. 🙂

Подобная процедура в целочисленных задачах называется перебор на ограниченном множестве. Суть метода заключается в том, что, если число всевозможных вариантов не очень большое (в нашем случае – всего 10), то мы просто перебираем все-все возможные случаи и отбираем всё то, что нас устраивает. 🙂

А теперь подсчитываем наших цыплят палиндромов:

3 + 4 + 3 + 3 + 4 + 3 + 3 + 4 + 3 + 3 = 33

Итого тридцать три коровы пятизначных числа-палиндрома, делящихся на 15! 🙂

Теперь, когда проведено столь масштабное исследование, самый сложный пункт в) многим ученикам может показаться совсем пустяковым. 🙂 Сейчас всё увидите!

в) Найдите 37-е по величине число-палиндром, которое делится на 15.

Для ответа на вопрос сначала подсчитаем все трёхзначные и четырёхзначные числа-палиндромы.

Одно из трёхзначных (самое первое вообще среди таких чисел) мы уже нашли – это 525. Давайте найдём все остальные. Для этого снова обратимся к нашей сумме цифр (см. пункт а)):

10 + b – делится на 3.

Тогда b = – три трёхзначных числа-палиндрома (т.е. 525, 555 и 585).

Разбираемся теперь с четырёхзначными числами-палиндромами. Здесь всё аналогично. Они имеют вот такую запись:

По признаку делимости на 5, последняя (и первая) цифры могут быть равны 0 или 5. Сразу, по понятным причинам, отметаем ноль и получаем:

По признаку делимости на 3 составляем сумму цифр:

5 + b + b + 5 = 10 + 2b.

Чтобы эта штука делилась на 3, цифра b должна принимать лишь одно из трёх значений: b = <1; 4; 7>. Итого получаем три четырёхзначных числа-палиндрома (5115, 5445 и 5775).

Тогда получается, что всего трёх-, четырёх- и пятизначных чисел-палиндромов, делящихся на 15, будет:

3 (трёхзначные)+3 (четырёхзначные)+33 (пятизначные) = 39 чисел.

Тогда очевидно, что искомое 37-е число-палиндром – пятизначное. Гуд.) Идём дальше.

А теперь смотрим на результаты нашего исследования пятизначных чисел в пункте б). Я не стал для каждого случая выписывать их все, но зато можно заметить, что при росте b все наши получаемые числа располагаются в порядке возрастания. Это значит, что самое последнее, 39-е число будет соответствовать случаю b=9, c=8. Тогда искомое 37-е по величине число-палиндром, делящееся на 15, будет соответствовать случаю b=9, c=2, т.е. 59295.

Как видите, ничего сложного. Если знать пару признаков делимости и понимать суть задания (что такое число-палиндром и немного что такое десятичная запись числа). Да, в пункте б) надо разбирать 10 случаев, но все они совсем простые и решаются фактически в уме. Главное – не бояться!

Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!

Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!

Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!