Задание движения и траектория
КООРДИНАТНЫЙ СПОСОБ ИЗУЧЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Движение точки в декартовых координатах считается заданным, если известны координаты точки как непрерывные, дважды дифференцируемые функции времени , т. е. заданы уравнения движения точки в декартовых координатах:
;
;
.
Эти уравнения движения есть также уравнения траектории точки в параметрической форме. Параметром является время t. Уравнения траектории в координатной форме получают исключением параметра t.
,
.
Разложим радиус-вектор и скорость точки на составляющие, параллельные осям координат. Получим
;
, (1)
где х, у, z-координаты точки М; – единичные векторы осей координат;
– проекции скорости на оси координат.
Учитывая (1), согласно определению скорости, имеем
, (2)
так как не изменяются при движении точки М. Точки над х, у, z означают их производные по времени. Сравнивая (1) и (2), получаем для проекций скорости на декартовы оси координат следующие формулы:
;
;
.
Проекция скорости точки на какую-либо координатную ось равна первой производной по времени от соответствующей координаты этой точки. По проекциям определяют числовое значение (модуль) скорости и косинусы углов вектора скорости с осями координат:
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: Да какие ж вы математики, если запаролиться нормально не можете. 8547 – | 7402 –
или читать все.
91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.
Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно
Лекция 2
Краткое содержание: Геометрические понятия: кривизна кривой, радиус кривизны, оси естественного трехгранника. Дифференцирование единичного вектора. Ускорение точки при различных способах задания движения. Частные случаи движения точки.
Геометрические понятия
В точке М кривой линии проведем касательную Мt. В точке М1 построим касательную М1t. Между точками М и М1 расстояние Ds.
В общем случае пространственной кривой касательные Мt и М1t будут скрещиваться. Проводим в точке М прямую линию Мt2 параллельную М1t. Угол Dj между линиями Мt и Мt2 называется углом смежности.
Кривизной кривой k в точке М называется предел, к которому стремится угол смежности, приходящийся на единицу расстояния Ds, при Ds , стремящемся к нулю, т.е.
(2-1)
Радиусом кривизны кривой r в точке М называется величина, обратная кривизне кривой в этой точке, т.е.
(2-2)
Вычислим радиус кривизны дуги окружности радиуса R. Дуга окружности длиной s, опирающаяся на центральный угол j, выражается зависимостью
Через пересекающиеся прямые Мt и Мt2 проводим плоскость. Предельное положение этой плоскости при совпадении в пределе точек М и М1 называется соприкасающейся плоскостью кривой в точке М.
В случае плоской кривой соприкасающаяся плоскость для всех точек кривой является сама плоскость, в которой расположена эта кривая.
Естественный трехгранник
Построим в точке М кривой линии естественные оси этой кривой.
Первой естественной осью является касательная Мt. Ее положительное направление совпадает с направлением единичного вектора .
Перпендикулярно касательной Мt располагается нормальная плоскость кривой. Нормаль, расположенная в соприкасающейся плоскости называется главной нормалью. По главной нормали Мn внутрь вогнутости кривой направим единичный вектор . Он определяет положительное направление второй оси. Нормаль, перпендикулярная главной нормали называется бинормалью. Положительное направление бинормали определяется единичным вектором
Три взаимноперпендикулярные оси Мt, Мn и Мb называются естественными осями кривой. Эти оси образуют в точке М естественный трехгранник.
Дифференцирование единичного вектора
Вычисление производной от единичного вектора по времени дает следующий результат
Радиус кривизны считаем положительным.
Единичный вектор перпендикулярен вектору
, направ-ленному по касательной к кривой и лежит в соприкасающейся плоскости. Вектор
направлен по главной нормали кривой в сторону ее вогнутости.
Ускорение точки
Пусть движущаяся точка М в момент времени имеет скорость
. В другой момент времени
эта точка будет занимать положение М1 и иметь скорость
. Чтобы изобразить прираще-ние скорости
за время
, перенесем вектор
параллельно самому себе в точку М.
Средним ускорением точки за время
называется отношение вектора приращения скорости
к изменению времени
.
(2-3)
Ускорением точки в момент времени
называется предел к которому стремится среднее ускорение при
, стремящемся к нулю. Ускорение точки равно первой производной по времени от скорости точки или второй производной по времени от радиус-вектора.
(2-4)
Ускорение точки в декартовых координатах
Разложим ускорение и скорость точки на составляющие, параллельные осям декартовой системы координат. Получим
(2-5)
(2-6)
(2-7)
Проекция ускорения точки на какую-либо координатную ось равна второй производной по времени от соответствующей координаты этой точки.
Модуль ускорения и направляющие косинусы равны:
(2-8)
(2-9)
Если точка движется в плоскости, то, выбрав оси координат Ox и Oy в этой плоскости, получим:
Для прямолинейного движения точки координатную ось, например ось Ox, направляем по траектории. Тогда
Движение в пространстве может быть задано, если известен закон изменения трех декартовых координат x , y , z в качестве функции времени.
Имеются случаи, когда перемещение материальной точки не может быть описано с помощью уравнения движения в декартовых координатах, так как запись становится громоздкой. Тогда следует выбирать три независимые скалярные параметра q 1 , q 2 , q 3 , называемые криволинейными (обобщенными) координатами, которые способны четко определить положение точки в пространстве.
Вектор скорости
Определение точки М во время задания ее движения в криволинейных координатах возможно в виде векторной суммы составляющих скоростей, параллельных координатным осям:
υ = d r → d t = ∂ r → ∂ q 1 q ˙ 1 + ∂ r → ∂ q 2 q ˙ 2 + ∂ r → ∂ q 3 q ˙ 3 = υ q 1 e 1 ¯ + υ q 2 e 2 ¯ + υ q 3 e 3 ¯ .
Запись проекции вектора скорости на соответствующие координаты оси примет вид:
υ q i = υ ¯ · e i ¯ = H i q i ˙ , i = 1 , 3 .
H i = ∂ r → ∂ q i M является параметром, называющимся i – м коэффициентом Ламе и равняющимся значению модуля частной производной от радиус-вектора точки по i – ой криволинейной координате, которая была вычислена в данной точке М .
Направление каждого из векторов e i соответствует направлению движения точки конца радиус-вектора r i при возрастании i – й обобщенной координаты.
Расчет модуля скорости в ортогональной криволинейной системе координат рассчитывается по формуле:
υ = υ q 1 2 + υ q 2 2 + υ q 3 2 = H 1 2 q ˙ 1 2 + H 2 2 q ˙ 2 2 + H 3 2 q ˙ 3 2 .
Чтобы вычислить текущее положение точки М , необходимо найти производные и коэффициенты Ламе приведенных формул в пространстве.
В сферической системе координат координатами точки являются скалярные параметры r , φ , θ , отсчитываемые так, как изображено на рисунке 1 .
Рисунок 1 . Вектор скорости в сферической системе координат
Ускорение системы
Составленная система уравнений движения точки запишется как:
r = r ( t ) φ = φ ( t ) θ = θ ( t ) .
На рисунке 1 показаны радиус-вектор, проведенный из начала координат, углы φ и θ , координатные линии, оси рассматриваемой системы в произвольной точке М траектории.
Расположение координатных линий ( φ ) и ( θ ) идет на поверхности сферы радиусом r . Данная система получила название ортогональной.
Выражение декартовых координат возможно через сферические:
x = r cos φ sin θ ; y = r sin φ cos θ ; z = r cos θ .
Отсюда следует, что коэффициенты Ламе H r = 1 ; H φ = r sin φ ; H 0 = r , проекции скорости точки на оси сферической системы координат υ r = r ˙ ; υ θ = r θ ˙ ; υ φ = r φ ˙ sin θ , а модуль вектора скорости υ = υ r 2 + υ φ 2 + υ θ 2 = r ˙ 2 + r 2 φ ˙ 2 + r 2 θ ˙ 2 .
Запись ускорения в сферических координатах примет вид:
a → = a r e r → + a φ e φ → + a θ e θ → .
А проекции ускорения точки:
a r = r ˙ – r θ ˙ 2 + φ ˙ 2 sin 2 φ ; a φ = r φ ¨ sin φ + 2 r φ ˙ ( sin θ + θ ˙ cos θ ) ; a θ = r θ ¨ – r φ ˙ 2 sin θ cos θ + 2 r ˙ θ ˙ .
Изображение модуля ускорения будет равняться a = a r 2 + a φ 2 + a θ 2 .
Задана точка, которая производит движение по линии пересечения сферы и цилиндра по уравнению r = R , φ = k t 2 , θ = k t 2 , где r , φ , θ являются сферическими координатами.
Произвести поиск модуля и проекции скорости точки на оси сферической системы координат.
Необходимо найти проекции вектора скорости на оси сферических координат.
υ r = r ˙ = 0 ; υ φ = r φ ˙ sin θ = R k 2 sin k t 2 ; υ θ = r θ ˙ = R k 2 .
Определяем модуль скорости:
υ = υ r 2 + υ φ 2 + υ θ 2 = R k 2 sin 2 k t 2 + 1 .
Применив условие предыдущего задания, определить модуль ускорения точки.
Произведем нахождение проекции вектора ускорения на оси сферических координат.
a r = r ˙ – r θ ˙ 2 + φ ˙ 2 sin 2 φ = R k 2 4 1 + sin 2 k t 2 ; a φ = r φ ¨ sin φ + 2 r φ ˙ sin θ + θ ˙ cos θ = – R k 2 2 sin k t 2 ; a θ = r θ ¨ – r φ ˙ sin θ cos θ + 2 r ˙ θ ˙ = – R k 2 4 sin θ cos k t 2 .
Далее определим модуль ускорения: a = a r 2 + a φ 2 + a θ 2 = R k 2 4 4 + sin 2 k t 2 .
Ответ: a = R k 2 4 4 + sin 2 k t 2