Задание движения и траектория

КООРДИНАТНЫЙ СПОСОБ ИЗУЧЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

Движение точки в декартовых координатах считается заданным, если известны координаты точки как непрерывные, дважды дифференцируемые функции времени , т. е. заданы уравнения движения точки в декартовых координатах:

; ; .

Эти уравнения движения есть также уравнения траектории точки в параметрической форме. Параметром является время t. Уравнения траектории в координатной форме получают исключением параметра t.

, .

Разложим радиус-вектор и скорость точки на составляющие, параллельные осям координат. Получим

; , (1)

где х, у, z-координаты точки М; – единичные векторы осей координат; – проекции скорости на оси координат.

Учитывая (1), согласно определению скорости, имеем

, (2)

так как не изменяются при движении точки М. Точки над х, у, z означают их производные по времени. Сравнивая (1) и (2), получаем для проекций скорости на декартовы оси координат следующие формулы:

; ; .

Проекция скорости точки на какую-либо координатную ось равна первой производной по времени от соответствующей координаты этой точки. По проекциям определяют числовое значение (модуль) скорости и косинусы углов вектора скорости с осями координат:

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Да какие ж вы математики, если запаролиться нормально не можете. 8547 – | 7402 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Лекция 2

Краткое содержание: Геометрические понятия: кривизна кривой, радиус кривизны, оси естественного трехгранника. Дифференцирование единичного вектора. Ускорение точки при различных способах задания движения. Частные случаи движения точки.

Геометрические понятия

В точке М кривой линии проведем касательную Мt. В точке М₁ построим касательную М₁t_. Между точками М и М₁ расстояние Ds.

В общем случае пространственной кривой касательные Мt и М₁t_ будут скрещиваться. Проводим в точке М прямую линию Мt₂ параллельную М₁t_. Угол Dj между линиями Мt и Мt₂ называется углом смежности.

Кривизной кривой k в точке М называется предел, к которому стремится угол смежности, приходящийся на единицу расстояния Ds, при Ds , стремящемся к нулю, т.е.

(2-1)

Радиусом кривизны кривой r в точке М называется величина, обратная кривизне кривой в этой точке, т.е.

(2-2)

Вычислим радиус кривизны дуги окружности радиуса R. Дуга окружности длиной s, опирающаяся на центральный угол j, выражается зависимостью

Через пересекающиеся прямые Мt и Мt₂ проводим плоскость. Предельное положение этой плоскости при совпадении в пределе точек М и М₁ называется соприкасающейся плоскостью кривой в точке М.

В случае плоской кривой соприкасающаяся плоскость для всех точек кривой является сама плоскость, в которой расположена эта кривая.

Естественный трехгранник

Построим в точке М кривой линии естественные оси этой кривой.

Первой естественной осью является касательная Мt. Ее положительное направление совпадает с направлением единичного вектора .

Перпендикулярно касательной Мt располагается нормальная плоскость кривой. Нормаль, расположенная в соприкасающейся плоскости называется главной нормалью. По главной нормали Мn внутрь вогнутости кривой направим единичный вектор . Он определяет положительное направление второй оси. Нормаль, перпендикулярная главной нормали называется бинормалью. Положительное направление бинормали определяется единичным вектором

Три взаимноперпендикулярные оси Мt, Мn и Мb называются естественными осями кривой. Эти оси образуют в точке М естественный трехгранник.

Дифференцирование единичного вектора

Вычисление производной от единичного вектора по времени дает следующий результат Радиус кривизны считаем положительным.

Единичный вектор перпендикулярен вектору , направ-ленному по касательной к кривой и лежит в соприкасающейся плоскости. Вектор направлен по главной нормали кривой в сторону ее вогнутости.

Ускорение точки

Пусть движущаяся точка М в момент времени имеет скорость . В другой момент времени эта точка будет занимать положение М₁ и иметь скорость . Чтобы изобразить прираще-ние скорости за время , перенесем вектор параллельно самому себе в точку М.

Средним ускорением точки за время называется отношение вектора приращения скорости к изменению времени .

(2-3)

Ускорением точки в момент времени называется предел к которому стремится среднее ускорение при , стремящемся к нулю. Ускорение точки равно первой производной по времени от скорости точки или второй производной по времени от радиус-вектора.

(2-4)

Ускорение точки в декартовых координатах

Разложим ускорение и скорость точки на составляющие, параллельные осям декартовой системы координат. Получим

(2-5)

(2-6)

(2-7)

Проекция ускорения точки на какую-либо координатную ось равна второй производной по времени от соответствующей координаты этой точки.

Модуль ускорения и направляющие косинусы равны:

(2-8)

(2-9)

Если точка движется в плоскости, то, выбрав оси координат Ox и Oy в этой плоскости, получим:

Для прямолинейного движения точки координатную ось, например ось Ox, направляем по траектории. Тогда

Движение в пространстве может быть задано, если известен закон изменения трех декартовых координат x , y , z в качестве функции времени.

Имеются случаи, когда перемещение материальной точки не может быть описано с помощью уравнения движения в декартовых координатах, так как запись становится громоздкой. Тогда следует выбирать три независимые скалярные параметра q 1 , q 2 , q 3 , называемые криволинейными (обобщенными) координатами, которые способны четко определить положение точки в пространстве.

Вектор скорости

Определение точки М во время задания ее движения в криволинейных координатах возможно в виде векторной суммы составляющих скоростей, параллельных координатным осям:

υ = d r → d t = ∂ r → ∂ q 1 q ˙ 1 + ∂ r → ∂ q 2 q ˙ 2 + ∂ r → ∂ q 3 q ˙ 3 = υ q 1 e 1 ¯ + υ q 2 e 2 ¯ + υ q 3 e 3 ¯ .

Запись проекции вектора скорости на соответствующие координаты оси примет вид:

υ q i = υ ¯ · e i ¯ = H i q i ˙ , i = 1 , 3 .

H i = ∂ r → ∂ q i M является параметром, называющимся i – м коэффициентом Ламе и равняющимся значению модуля частной производной от радиус-вектора точки по i – ой криволинейной координате, которая была вычислена в данной точке М .

Направление каждого из векторов e i соответствует направлению движения точки конца радиус-вектора r i при возрастании i – й обобщенной координаты.

Расчет модуля скорости в ортогональной криволинейной системе координат рассчитывается по формуле:

υ = υ q 1 2 + υ q 2 2 + υ q 3 2 = H 1 2 q ˙ 1 2 + H 2 2 q ˙ 2 2 + H 3 2 q ˙ 3 2 .

Чтобы вычислить текущее положение точки М , необходимо найти производные и коэффициенты Ламе приведенных формул в пространстве.

В сферической системе координат координатами точки являются скалярные параметры r , φ , θ , отсчитываемые так, как изображено на рисунке 1 .

Рисунок 1 . Вектор скорости в сферической системе координат

Ускорение системы

Составленная система уравнений движения точки запишется как:

r = r ( t ) φ = φ ( t ) θ = θ ( t ) .

На рисунке 1 показаны радиус-вектор, проведенный из начала координат, углы φ и θ , координатные линии, оси рассматриваемой системы в произвольной точке М траектории.

Расположение координатных линий ( φ ) и ( θ ) идет на поверхности сферы радиусом r . Данная система получила название ортогональной.

Выражение декартовых координат возможно через сферические:

x = r cos φ sin θ ; y = r sin φ cos θ ; z = r cos θ .

Отсюда следует, что коэффициенты Ламе H r = 1 ; H φ = r sin φ ; H 0 = r , проекции скорости точки на оси сферической системы координат υ r = r ˙ ; υ θ = r θ ˙ ; υ φ = r φ ˙ sin θ , а модуль вектора скорости υ = υ r 2 + υ φ 2 + υ θ 2 = r ˙ 2 + r 2 φ ˙ 2 + r 2 θ ˙ 2 .

Запись ускорения в сферических координатах примет вид:

a → = a r e r → + a φ e φ → + a θ e θ → .

А проекции ускорения точки:

a r = r ˙ – r θ ˙ 2 + φ ˙ 2 sin 2 φ ; a φ = r φ ¨ sin φ + 2 r φ ˙ ( sin θ + θ ˙ cos θ ) ; a θ = r θ ¨ – r φ ˙ 2 sin θ cos θ + 2 r ˙ θ ˙ .

Изображение модуля ускорения будет равняться a = a r 2 + a φ 2 + a θ 2 .

Задана точка, которая производит движение по линии пересечения сферы и цилиндра по уравнению r = R , φ = k t 2 , θ = k t 2 , где r , φ , θ являются сферическими координатами.

Произвести поиск модуля и проекции скорости точки на оси сферической системы координат.

Необходимо найти проекции вектора скорости на оси сферических координат.

υ r = r ˙ = 0 ; υ φ = r φ ˙ sin θ = R k 2 sin k t 2 ; υ θ = r θ ˙ = R k 2 .

Определяем модуль скорости:

υ = υ r 2 + υ φ 2 + υ θ 2 = R k 2 sin 2 k t 2 + 1 .

Применив условие предыдущего задания, определить модуль ускорения точки.

Произведем нахождение проекции вектора ускорения на оси сферических координат.

a r = r ˙ – r θ ˙ 2 + φ ˙ 2 sin 2 φ = R k 2 4 1 + sin 2 k t 2 ; a φ = r φ ¨ sin φ + 2 r φ ˙ sin θ + θ ˙ cos θ = – R k 2 2 sin k t 2 ; a θ = r θ ¨ – r φ ˙ sin θ cos θ + 2 r ˙ θ ˙ = – R k 2 4 sin θ cos k t 2 .

Далее определим модуль ускорения: a = a r 2 + a φ 2 + a θ 2 = R k 2 4 4 + sin 2 k t 2 .

Ответ: a = R k 2 4 4 + sin 2 k t 2