Сложение и вычитание функций

Чтобы построить график функции , надо построить на одном чертеже графики и , потом при каждом x сложить ординаты двух графиков.

Если необходимо построить график разности двух функций , то этот случай сводится к построению суммы: . Причем, график функции получается из графика функции симметричным отражением относительно оси .

В случае, когда вторая функция – константа, то графическое сложение означает сдвиг графика первой функции по вертикали на эту константу, причем, если константа положительная, то сдвиг осуществляется вверх, а если отрицательная, то вниз.

Сложение двух функций:
Вычитание двух функций:
Сложение функции и константы:
Вычитание функции и константы:

Чтобы построить график функции y=f(x)·g(x) , надо построить на одном чертеже графики y=f(x) и y=g(x) , потом при каждом x перемножить ординаты двух графиков.

Графическое деление выполняется аналогично произведению.

В частном случае при построении графика функции y=A·f(x) , где A – константа надо график функции y=f(x) растянуть в |A| раз по вертикали, при условии |A|≥1 , или сжать в раз по вертикали, если |A| , и затем полученный график отобразить симметрично относительно оси OX , если A .

В данном параграфе рассмотрены следующие примеры:

Операции c функциями

Функции можно складывать
Функции можно вычитать
Функции можно умножать
Функции можно делить
Функции могут быть составлены друг с другом
Давайте возьмем две функции
f(x) = x 2 and g(x) = x
Сумма этих функций:
f(x) + g(x) = x 2 + x

Сумма двух функций f и g определяется как f + g Определение операций с функциями
(f + g)(x) = f(x) + g(x) Сложение
(f – g)(x) = f(x) – g(x) Вычитание
(f.g)(x) = f(x).g(x) Умножение
(f/g)(x) = f(x)/g(x) Деление Для функции f + g, f – g, f.g, области определяются как пересечение областей f и g Для f/g, область есть пересечение областей f и g кроме точек, где g(x) = 0 Пример
f(x) = 1 + √ x – 2 and g(x) = x – 1
Тогда их сумма определяется как
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = (1 + √ x – 2 ) + (x – 1) = x + √ x – 2 Теперь давайте сравним области первоначальных функций f и g с их суммой:

Читайте также:  Программа для просмотра российских каналов
Функция Область
f(x) = 1 + √ x – 2 [2; +∞)
g(x) = x – 1 (-∞ +∞)
(f + g)(x) = x + √ x – 2 [2; ∞)∩(-∞ +∞) = [2; ∞)

Пример:
Рассмотрим две функции
f(x) = 3√ x and g(x) = √ x
Тогда их произведение определяется как
(f.g)(x) = f(x).g(x) = (3√ x )(√ x ) = 3x Обратите внимание, что

Натуральная область 3x есть (-∞; +∞) Теперь сравним области первоначальных функций f и g, и их произведение:

Функция Область
f(x) = 3√ x [0; +∞)
g(x) = √ x [0; +∞)
(f.g)(x) = 3x, x ≥ 0 [0; +∞) ∩ [0; +∞) = [0; +∞)

Иногда произведение двух одинаковых функций записывается как
f 2 (x) = f(x).f(x)
В целом, если n есть положительным целым, тогда hen
f n (x) = f(x).f(x). f(x) Например,
sin(x).sin(x) = (sin(x)) 2 = sin 2 x Допустим, что есть две функции
f(x) = x 3 и g(x) = x + 4
Если мы заменим g(x) на x в формуле для f, мы получим новую функцию, определенную
(f o g)(x) = f(g(x)) = (g(x)) 3 = (x + 4) 3
Чтобы вычислить f(g(x)) необходимо вычислить сначала g(x) для x из области g, а тогда необходимо g(x) в области f вычислить f(g(x))

Пример:
Есть
f(x) = x 2 + 3 g(x) = √ x
Тогда составная этих функций есть
(f o g)(x) = f(g(x)) = (g(x)) 2 + 3 = (√ x ) 2 + 3 = x + 3 Теперь сравним областя оригинальных функций f и g, и их составную функцию

В разработке представлен способ сложения графиков функций и примеры с подробным объяснением.

Просмотр содержимого документа
«Сложение графиков функций»

Иногда функция, график которой должен быть построен, представляется как сумма двух или нескольких простейших функций. Графики простейших функций уже известны и без труда могут быть построены. В этом случае, рассмотрим способ сложения графиков.

Алгоритм. 1) Строим графики функций каждого слагаемого

2) Ординаты второго графика откладывают от соответствующих

ординат первого графика (можно пользоваться измерительным

Пример 1. Построить график функции

Представим эту функцию в виде суммы двух функций: , где

. На одной системе координат строим графики этих функций.

Затем, каждую точку графика функции смещаем параллельно оси Оу на расстояние, равное ординате графика функции в соответствующей абсциссе. То есть, при ордината графика функции равна 2, а ордината графика функции равна 0, поэтому ставим точку . Далее, при ордината графика функции равна 0, а ордината графика функции равна 1, поэтому ставим точку . При ордината графика функции равна -2, а ордината графика функции равна 8, поэтому ставим точку . При ордината графика функции равна 4, а ордината графика функции равна -1, поэтому ставим точку . И так далее. Получаем график функции

Читайте также:  Сколько нулей имеет функция

Для того, чтобы график был как можно точнее, необходимо брать значимые точки, т.е. те, в которых происходит значимое событие для графика (пересечение с осями, точки перегиба, или точки, в которых график меняет своё направление).

Определим свойства функции

Значит, функция не является ни чётной, ни нечётной и её график не обладает симметрией ни относительно оси Оу, ни относительно начала координат.

Точка пересечения с осью Оу:

Найдём точки экстремума:

Найдём экстремумы функции:

Функция возрастает при .

Функция убывает при .

Пример 2. Построить график функции

Представим эту функцию в виде суммы двух функций: , где

. На одной системе координат строим графики этих функций.

Производим аналогичные действия:

Получаем график функции .

Определим свойства функции

Значит, функция не является ни чётной, ни нечётной и её график не обладает симметрией ни относительно оси Оу, ни относительно начала координат.

Точка пересечения с осью Оу:

Точки пересечения с осью Ох:

Значит, точки пересечения с осью Ох –

Найдём точки экстремума:

Найдём экстремумы функции:

Функция убывает при .Функция возрастает при .

Пример 3. Построить график функции

Представим эту функцию в виде суммы двух функций: , где

. На одной системе координат строим графики этих функций. Затем производим сложение.

Определим свойства функции

Чётность функции: Значит, функция является чётной, и её график симметричен относительно оси Оу.

Точка пересечения с осью Оу:

Точки пересечения с осью Ох:

Значит, точки пересечения с осью Ох –

Найдём точки экстремума:

Найдём экстремумы функции:

Функция возрастает при .

Функция убывает при .

Пример 4. Построить график функции

Представим эту функцию в виде суммы двух функций: , где

. На одной системе координат строим графики этих функций. Затем производим сложение.

Читайте также:  Программа для медленного просмотра видео

Аналогичные вычисления для отрицательного аргумента. Получаем график функции

Определим свойства функции

Чётность функции: Значит, функция не является ни чётной, ни нечётной, и её график не обладает симметрией ни относительно оси Оу, ни относительно начала координат.

Точка пересечения с осью Оу:

Точки пересечения с осью Ох:

. Значит, точки пересечения с осью Ох –

Найдём точки экстремума:

Найдём экстремумы функции:

Функция возрастает при .

Функция убывает при .

Особый случай представляется при сочетании обратной пропорциональности с каким-нибудь другим графиком. Приведём такой пример.

Пример 5. Построить график функции

Представим эту функцию в виде суммы двух функций: , где

. На одной системе координат строим графики этих функций.

Что происходит? Так как график обратной пропорциональности не пересекает оси координат, то он и будет исходным. К его ординатам будем прибавлять ординаты графика функции .

График функции-суммы при значениях х, бесконечно близких к 0, практически сливается с графиком функции , располагаясь чуть выше его. А при очень больших значениях график функции-суммы почти сливается с графиком , располагаясь чуть выше его при положительных х, и чуть ниже при отрицательных х.

Определим свойства функции

Значит, функция не является ни чётной, ни нечётной, и её график не обладает симметрией ни относительно оси Оу, ни относительно начала координат.

Точек пересечения с осью Оу нет.

Точки пересечения с осью Ох:

Значит, точка пересечения с осью Ох

Leave a Reply

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

You may use these HTML tags and attributes:

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>